2022年高考数学真题分类汇编专题11：立体几何含答案.pptx

2022 年高考数学年高考数学真真题题分分类汇编专类汇编专题题 11：立体几立体几何何一、一、单选题单选题1（2022浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：3）是（）A22B8C22D16332（2022浙江）如图，已知正三棱柱 111，=1，E，F 分别是棱，11上的点记 与 1所成的角为 ，与平面 所成的角为 ，二面角 的平面 角为 ，则（）A B C D 3（2022新高考卷）正三棱台高为 1，上下底边长分别为 33和 43，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）A100B128C144D1924（2022全国甲卷）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该 多面体的体积为（）A8B12C16D205（2022全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2，侧面积分别为 甲 和 乙，体积分别为 甲 和 乙 若 甲 =2，则 甲 =（）乙乙A 5B22C 10D51046（2022全国甲卷）在长方体 1111中，已知 1 与平面 和平面 11 所成的角均为 30，则（）A=2BAB 与平面 11 所成的角为 30C=1D1 与平面 11 所成的角为 457（2022全国乙卷）在正方体 1111中，E，F 分别为，的中点，则（）A平面 1平面 1C平面 1平面 1B平面 1平面 1D平面 1平面 118（2022全国乙卷）已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A1B132C33D22及其内部的点构成的集9（2022北京）已知正三棱锥 的六条棱长均为 6，是合，设集合 =|5，则 表示的区域的面积为（）A34BC2D310（2022新高考卷）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 36，且 333，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A1881B 2781C 2764，D18，274444311（2022新高考卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。

知该水库水位为海拔 148.5m 时，相应水面的面积为 140.02；水位为海拔 157.5m 时，相应 水面的面积为 180.02.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5m 上升到 157.5m 时，增加的水量约为（）(72.65)A1.01093B1.21093C1.41093D1.6109312（2022浙江学考）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（）A棱柱B圆柱C圆台D球13（2022浙江学考）如图，正方体 1111中，N 是棱 1的中点，则直线 CN 与平面11所成角的正弦值等于（）A12B105C155D215514（2022上海）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从 0 时转到 12 时（含 0 时不含 12 时）的过程中，能够相互垂直（）次A0B2C4D12二、多二、多选题选题15（2022新高考卷）如图，四边形 为正方形，平面，=2，记三棱锥 ，的体积分别为 1，2，3，则（）A3=22B3=21C3=1+2D23=3116（2022新高考卷）已知正方体1111，则（）9090B直线A直线1与1所成的角为1与1所成的角为45D直线C直线1与平面11 所成的角为1与平面 ABCD 所成的角为45三、填空三、填空题题17（2022浙江学考）如图，E，F 分别是三棱锥 V-ABC 两条棱 AB，VC 上的动点，且满足 =2+(0，0)则 2+2的最小值为.四、解答四、解答题题18（2022浙江）如图，已知 和 都是直角梯形，=5，=3，=1，=60，二面角 的平面角为 60设 M，N 分别 为，的中点（）证明：；（）求直线 与平面 所成角的正弦值19（2022新高考卷）如图，是三棱锥 的高，=，E 是 的 中点（1）求证：平面；（2）若=30，=3，=5，求二面角 的正弦值 20（2022全国乙卷）如图，四面体 中，=，=，E 为 AC 的 中点（1）证明：平面 平面 ACD；（2）设=2，=60，点 F 在 BD 上，当 的体积的面积最小时，求三棱锥21（2022全国甲卷）在四棱锥 中，底面，=1，=2，=3（1）证明：；（2）求 PD 与平面 所成的角的正弦值22（2022全国甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底 面 是边长为 8（单位：cm）的正方形，均为正三角 形，且它们所在的平面都与平面 垂直（1）证明：平面；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）23（2022全国乙卷）如图，四面体 中，=，=，E 为 的中点（1）证明：平面 平面；（2）设=2，=60，点 F 在 上，当的面积最小时，求 与平面 所成的角的正弦值24（2022北京）如图，在三棱柱 111中，侧面 11为正方形，平面 11平 面 11，=2，分别为 11，的中点（I）求证：/平面 11；II.再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求 直线 与平面 所成角的正弦值。

条件：；条件：=注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分25（2022新高考卷）如图，直三棱柱 111的体积为 4，1的面积为 22.1求 A 到平面 1的距离；（2）设 D 为 1 的中点，1=，平面 1平面 11，求二面角 的正弦值.26（2022上海）如图，在圆柱 1中，底面半径为 1，1为圆柱母线.（1）若 1=4，M 为 1中点，求直线 1与底面的夹角大小；2若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.答案解析部答案解析部分分1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】C13.【答案】B14.【答案】B15.【答案】C,D16.【答案】A,B,D1 7【答案】151 8【答案】解：（）过点 E、D 分别做直线、的垂线、并分别交于点交于点G、H四边形 和 都是直角梯形，/，/，=5，=3，=1，=60，由平面几何知识易知，=2，=90，则四边形 和四边形 是矩形，在 Rt 和 Rt，=23，且 =，平面，是二面角 的平面角，则=60，是正三角形，由 平面，得平面 平面，是 的中点，又 平面，平面，可得，而=，平面，而 平面（）由于 平面 ABCD，如图建系.32于是 (0，3，0)，(5，3，0)，(0，0，3)，(1，0，3)，(3，3，0)，则 (3，32).33=(3，2，2)，=(2，23，0)，=(2，3，3).|14平面 ADE 的法向量 =(3，1，3).设 BM 与平面 ADE 所成角为，则 sin=|=571 9【答案】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接、，因为 是三棱锥 的高，所以 平面，平面，所以、，又=，所以，即=，所以=，又 ，即=90，所以+=90，+=90，所以=所以=，即=，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以/，又 平面，平面，所以/平面（2）解：过点 作 ，以 AB 为 轴，AC 为 轴，AF 为 z 轴建立如图所示的空问直角 坐标系.因为=3，=5，由(1)=4，义=30，所以，=43，所以 (23，2，3)，(43，0，0)，(0，0，0)，(33，1，23)，设 =，则 (0，0)，31=0平面 AEB 的法向量设为 1=(，)，=(43，0，0)，=(33，1，)，所2 1=0以43=033+=023，所以 =0，设 =2，则 =3，所以 1=(0，3，2)：3 2=0平面 AEC 的法向量设为 2=(，)，=(0，0)，=(33，1，)，所以2 2=033+=02=03，所以 =0，设 =3，则 =6，阦以 2=(3，0，6)：12所 以 cos，=12 1212|1|2|1339133=431313二面角 的平面角为 ，则 sin=1cos2=11，所以二面角 的正弦值为11。

132 0【答案】（1）证明：由于=，是 的中点，所以 .=由于=，所以，=所以=，故 ，由于=，所以 平面，平面，由于 平面，所以平面 平面.（2）解：依题意=2，=60，三角形 是等边三角形，所 以 =2，=1，=3，由于=，所以三角形 是等腰直角三角形，所以=1.2+2=2，所以，由于 =，平面，所以 平面.由于，所以=，=由于=，所以，=所以 =，所以 ，由于=1 ，所以当 最短时，三角形 的面积最小值.2过 作 ，垂足为 ，222在 中，1=1，解得 =3，所以=212()23=12，=2=32，所以=3 4 4过 作，垂足为 ，则/，所以 平面，且=3，4所 以=3，33244所 以 =1=11233=3.2 1【答案】（1）证明：在四边形 中，作 于 ，于 ，因为/，=1，=2，所以四边形 为等腰梯形，2所 以=1，故=3，=2+2=3，2所 以 2+2=2，所以，因为 平面，平面，所以，又=，所以 平面，又因 平面，所以（2）解：由(1)知，PD，AD，BD 两两垂直，=22=3，建立空间直角坐标系如图 所示，则 (0，0，0)，(1，0，0)，(0，3，0)，(0，0，3)，=(0，0，3)，=(1，0，3)，=(1，3，0)，设平面 PAB 的法向量为 =(，)，则=0=0,即 3=0+3=0不妨设 =1，则 =(3，1，1)，设 PD 与平面 PAB 的所成角为，则sin=|cos，|=|=35=|3|55，PD 与平面 PAB 的所成的角的正弦值为5.52 2 【答案】（1）证明：分别取，的中点 ，连接，因为，为全等的正三角形，所以，=，又平面平面，平面 平面=，平面，所以 平面，同理可得 平面，根据线面垂直的性质定理可知/，而=，所以四边形 为平行四边形，所以 /，又 平面，平面，所以 /平面（2）解：分别取，中点 ，由（1）知，/且 =，同理有，/，=，/，=，/，=，由平面知识可知，=，所以 该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积的 4倍因为=42，=8sin60=43，点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离 ，=22，所以该几何体的体积 =(42)21343+4424322=1283+2563=6403332 3【答案】（1）证明：因为=，E 为 的中点，所以 ；在 和 中，因为=，=，=，所以，所以=，又因为 E 为 的中点，所以 ；又因为，平面，=，所以 平面，因为 平面，所以平面 平面.（2）解：连接 ，由（1）知，平面，因为 平面，所以 ，所以=1 ，2当 时，最小，即 的面积最小.因为，所以=2，又因为=60，所以 是等边三角形，因为 E 为 的中点，所以=1，=3，12因为，所以=1，在 中，2+2=2，所以.以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 (1，0，0)，(0，3，0)，(0，0，1)，所以=(1，0，1)，=(1，3，0)，设平面 的一个法向量为 =(，)，则=+=0=+3=0，取 =3，则 =(3，3，3)，34又因为 (1，0，0)，(0，4343)，所以 =(1，43)，21747所以 cos，=6=43，设 与平面 所成的角的正弦值为 (0 2)，所 以 sin=|cos，|=43，7所以 与平面 所成的角的正弦值为 4 3.72 4【答案】（I）设点 P 为 AB 中点，由于 P 为 AB 中点，N 为 AC 中点所以 PN 为中位线/又 M 为 AB 中点，PM 是正方形 11 的中位线所以/11/1=面 11面 又 面/平面 11（II）选择条件，面 11面 11面 11 面=，面 11面=又/，又由：面=面 故，1两两垂直以 B 为原点，为 轴正方向，为 轴正方向，1为 轴正方向建立坐标系：(0，0，0)，：(0，1，2)，：(1，1，0)，：(0，2，0)，=(0，1，2)，=(1，1，0)，。