绝对值不等式中的含参问题.doc

绝对值不等式中的含参问题在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决一、绝对值的最值问题1、当绝对值中X的系数相同时运用三角不等式：||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|例1：求函数f(x)=|x-3|+|x-4|的最值解：|x-3|+|x-4|二|(x-3)-(x-4)|=1,函数f(x)的最小值为1例2：求函数f(x)=|2x-1|-|2x一3|的最值解：||2x-1|-|2x-3||<|(2x-1)-(2x-3)|=2,即得到-2<|2x-1|-|2x-3|<2，函数f(x)的最小值为一2,最大值为22、当绝对值中x的系数不相同时①零点分段，②写出分段函数，③画草图(或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处)，在分界点处求最值例：求函数f(x)=|2x-2|+|x+2|的最值当f-2<%<1当{(x+2)-(2x-2)当{x"当^(x+2)+(2x—2)解：当｛-(x+2<-(2x—2)即$<3x2，(—3x,x<—2则有f(x)={—x+4,—2<%<13x,x>1画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像从左往右先降，再降，后升，在x=l处，函数取得最小值3。

二、求绝对值中的参数范围1、恒成立问题VxeD,af(x)恒成立，则a>fmax(x)例1：|x-3|+|x-4|>a对一切xeR恒成立，求a的取值范围析：先求函数f(x)=|x-3|+|x-4|的最小值，再a|(x—3)—(x—4)|=1，得fmin(x)=1，则a<1例2：f(x)=|2x—1|—|x+2|，对于xe［0,1］，有f(x)fmax(x)二次不等式即｛0-x-2—3x—1即｛vx—3解：由于xe［0,1］，则f(x)=|2x—1|—x—2,当］0f(x)=—1,解得t<^一逻或max222、存在问题3xeD,af(x)恒成立，则a>fmin(x)例1：若存在实数x,使|2x—1|—|2x—3|二a成立，求a的取值范围。

析：先求函数f(x)=|2x—1|—|2x—3|的最大值，再aSfm(x)max解：112x—11—12x—311S|(2x—1)—(2x—3)|=2,即得到—2<|2x—1|—|2x—3|<2,函数f(x)的最大值为2,即fmax(x)=2,则aS2例2：若存在实数x,使|x—a||x—1|<3，求a的取值范围析：先求f(x)=|x—a||x—1|的最小值，再3二fmin(x)解：|x—a||x—1|二|(x—a)—(x—1)|=|1—a|,即fmin(x)=|1—a|贝U|1—a|<3，得一20),aH2,若存在xeR,使f(x)<1成立，求实数a的取值范围2析：先求f(x)=|2x—1||ax—1|(a>0),aH2的最小值，再1二(x)解：①若01,即f(x)=|2x—1||ax—1|P1—a，得a>1omin2222②若a>2则1<1，即f(x)=|ax—1|+|2x—1|a2当］x<1—(ax—1)—(2x—1){x12—1)+(2x—1)f11(a+2)x—2—(a+2)x+2,IIIII12IIIIIIx得fmin(x)=f(1)=1—2，则有1>1一2,得°

minaa2a综上所述，a的取值范围为[1,+8)U(0,4]。