高数同济7版教案第一章函数与极限.docx

页眉广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案课程码： 061041210 总学时/周学时: 51/3开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级： 制药本152班使用教材： 高等数学同济大学第7版教研室： 数学与应用数学教研室授课教师：、课程教学计划表章次内 容讲 授实践函数与极限13一导数与微分8*微分中值定理与导数应 用6四不定积分8五定积分6定积分的应用6七复习4八九总学时51、教案正文第一章函数与极限（一）教学目的：1.理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式2•了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性3•理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念4•掌握基本初等函数的性质及其图形5•理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右 极限 之间的关系6•掌握极限的性质及四则运算法则7•了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法8•理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限9•理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

二）重点、难点1 •重点 函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数 关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函 数的连续性2 •难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极 限的灵活运用三）教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节映射与函数一、映射1 .映射概念定义4.设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f：XY.其中V称为元素X(在映射f下)的像,并记作f(x),即y f(x),元素x称为元素y(在映 射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作Df,即Df XX中所有元素的 像所组成的集合称为映射f的值域，记为 Rf,或 f(X),即 Rtf(X) {f(x)| x X}.、।一、+ ：注意：1)映射的三要素：定义域，对应规则，值域.2)对每个x X,元素x的像y是唯一的；但对每个y R元素y的原像不一定唯例1设f: R R,对每个x R, f(x) x2.f是一个映射，f的定义域Df R,值域Rt {y| y 0}.例 2 设 X {(x, y)| x2 y2 1},Y {( x, 0)|| x|1),f :X Y,对每个(x, y) X,有唯一确定的(x, 0) 丫与之对应.f是一个映射，f的定义域Df X,值域Rt在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到 的区间［1,1］上.2、满射、单射和双射设f是从集合X到集合丫的映射.(1) 若Rf 丫即丫中任一元素y都是x中某元素的像，则称f为x到丫上的映射或满射；(2)若对X中任意两个不同元素x1 x2,它们的像f(x1)f(x2),则称f为*到丫的单 射；(3)若映射f既是单射，又是满射，则称f为一一映射(或双射).从实数集(或其子集)X到实数集丫的映射通常称为定义在X上的函数.3.逆映射与复合映射逆映射定义：设f是x到丫的单射，则由定义，对每个yRf,有唯一的X人 适合f(x) y,于是，我们可定义一个从Rf至U X的新映射g,即g : RfX,对每个y Rf，规定g(y) x,这x满足f (x) y.这个映射g称为f的逆映射，记作f1,其定义域为Rf,值域为X.按定义，只有单射才存在逆映射。

例如，映射y x2, x ( , 0],其逆映射为y、±,x[ 0,)复合映射定义：设有两个映射g ： X Y1, f: Y2乙其中丫 1 Y2,则由映射g和f可以 定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xX映射成f[g(x)]乙显然，这个对应法则 确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作fog,即 fog:XZ,( f o g)( x) f [g(x)], x X .说明：(1)映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域R必须包含在f的定义域内， 即 R Df.#/31(2)映射的复合是有顺序的,f o g有意义并不表示g o f也有意义.即使它们都 有意义,fg与g o f也未必相同.例3设有映射g ： R [ 1, 1 ],对每个x R, g(x) sin x,映射f： [1,1] [0,1]，对每个厂孑•则映射g和f构成复映射fg： R血1],对每个XR,有(f og)(x) f [g(x)] f (sin x) <1 sin2 x cosx、函数1 .函数的定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，如果对于给定的每个数x D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称 y是x的函数，记作y f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，v叫做因变量.y的取值范围叫函数的值域.2 .定义域的求法原则：(1)分母不为零(2) 、、x, x0(3) In x, x 0(4) arcs in x, arccos x, 1 x 1(5)同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集3 .分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数x 1, x 1X 1, X 1X1称为分段点4 .复合函数若yfuux，当x的值域落在fu的定义域内时称y f x是由中间变量u复合成的复合函数.5 .反函数设函数的定义域为Df，值域为Vf ,对于任意的y Vf，在Df上至少可以确定一个x与y对应，且满足yfx •如果把y看作自变量，x看作因变量，就可以得到一个新的函数：xf1y .我们称这个新的函数xf1y为函数y f x的反函数，而把函数y f x称为直接函数.说明：一个函数若有反函数，则有恒等式fl f x x, xDf.相应地有ff |yy, y Vf.R的反函数为4 3x 3 3 x3 4例如 直接 函数 y fx /3,xxCy I -y R' 并且有 fUxff 1y由于习惯上x表示自变量，y表示因变量，于是我们约定yf1x也是直接 函数yfx的反函数.6 .函数的性质(1)有界性有界定义：若有正数M存在，使函数f x在区间I上恒有f x M，则称f x在区间I上是有界函数；否则，f x在区间I上是无界函数.上界定义：如果存在常数M (不一定局限于正数)，使函数f x在区间|上 恒有f(x) M,则称f x在区间I上有上界，并且任意一个N M的数N都是f x在区间I上的一个上 界；下界定义：如果存在常数m，使f x在区间I上恒有f x m，则称f x在 区间I上有 下界，并且任意一个I m的数I都是f x在区间I上的一个下界.显然，函数fx在区间|上有界的充分必要条件是fx在区间|上既有上界又有下界.(2)单调性严格单调递增：设函数f X在区间I上的任意两点Xi X2，都有f X“f X2 (或f Xi f X2 )， 则称y f X在区间I上为严格单调增加(或严格单调减少)的函数.严格单调递增：如果函数fX在区间|上的任意两点XI X2，都有fXi fX2(或fXi fX2)，则称yfx在区间I上为广义单调增加(或广义单调减少)的函数.广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的 函数则简称为单调减少的函数或非增函数.例如，函数y X2在区间 ，0内是严格单调减少的；在区间o, 内是严格单调增加的.而函数y x、y X3在区间 , 内都是严格单调增加的.(3)奇偶性若函数f X在关于原点对称的区间I上满足f X f X (或f X f X )则称f X为偶函数(或奇函数).偶函数的图形是关于y轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的.例如，f x X2、g x XS in x在定义区间上都是偶函数.而 F x X、G x xcosx在定义区间上都是奇函数.(4)周期性对于函数y fx，如果存在一个非零常数T,对一切的x均有f x T f x，则称函数f x为周期函数.并把T称为f X的周期.应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期.7 .初等函数基本初等函数幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这图1-16类函数叫做基本初等函数.这些函数在中学的数 学课程里已经学过.(1)幕函数y xaa R它的定义域和值域依a的取值不同而不同，但是无论a取何值，幕函数在x 0,内总有定义.当a N或a -一，nN时，定义域2n 1为R .常见的幕函数的图形如图所示.数的图形如图1・2所示.(2)指数函数y axa 0, a 1它的定义域为 ， ，值域为0, .指数函(3)对数函数 y Iogaxa0, a 1y logax是指数函数y ax的反函数.其图形见图 1-3 .定义域为0， ，值域为 ，,对数函数在工程中，常以无理数e=2.718 281 828…作为 指数函数和对数函数的底，并且记ex expx，ogex In x， 而后者称为自然对数函数.(4)三角函数三角函数有正弦函数V sinx、余弦函数y cosx、正 切函数y tanx、余图1-3切函数y cotx、正割函数y secx和余割函数y cscx .其中正弦、余弦、正 (5)反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数y arcsinx、反余弦函数y arccosx、反正切和余切函数的图形见图1-4 .切函数y arctanx和反余切函数y arccotx等.它们的图形如图1・5所示.图1-56.常量函数为常数 yc （ c为常数）定义域为 ， ，函数的图形是一条水平的直线，如图1・6所示.图1-6初等函数通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合 步骤所构 成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数.非初等函数经常遇到,例如符号函数，取整函数yx等分段函数就是非初 等函数.在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等 函数的结构是十分重要的.页眉作业P16第1题的(1)、(3)、(5)、(7)、(9)小结与思考：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，为后 继课的学习作好准备-1. 是否为初等函数？第二节数列的极限、数列极限的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.引例 我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法一一割圆术，就是极限思想在几何学上的应用.设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A;再作内接正十二边形，其面积记为A2;再作内接正二十四边形，其面积记为A3 ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正6 2皿边形的面积记为Ann N .这样，就得到一系列内接正多边形的 。