高数上册D数列的极限ppt课件.ppt

高高 等等 数数 学学第一章第一章 函数与极限函数与极限§§2 2 数列的极限数列的极限二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三 、极限存在准则、极限存在准则 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节数列的极限数列的极限数学语言描述:一一 、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例. 设有半径为 r 的圆 ,逼近圆面积 S .如下图 , 可知当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) , 当 n > N 时,用其内接正 n 边形的面积总有定义定义: 自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项) .若数列及常数 a 有下列关系 :当 n > N 时, 总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :即或则称该数列的极限为 a ,例如例如,趋势不定收 敛发 散例例1. 知知证明数列的极限为1. 证证: 欲使即只要因而 , 取则当时, 就有故例例2. 知知证明证证:欲使只要即取则当时, 就有故故也可取也可由N 与  有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取例例3. 设设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因而 , 取, 则当 n > N 时, 就有故的极限为 0 . 二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证: 用反证法用反证法.及且取因故存在 N1 , 从而同理, 因故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n > N1 时, 假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n > N 时, 故假设不真 !满足的不等式例例4. 证明数列证明数列是发散的. 证证: 用反证法用反证法.假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取则存在 N ,但因交替取值 1 与－1 , 内,而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间 使当 n > N 时 , 有因此该数列发散 .2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设设取那么当时, 从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明: 此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立 . 例如,虽有界但不收敛 .有数列3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.假设且时, 有证证: 对 a > 0 , 取推论推论: 若数列从某项起(用反证法证明)*********************4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .证证: 设数列设数列是数列的任一子数列 .假设那么当 时, 有现取正整数 K , 使于是当时, 有从而有由此证明 *********************三、极限存在准则三、极限存在准则由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， 发散 !夹逼准则; 单调有界准则; 柯西审敛准则 .则原数列一定发散 .说明说明: 1. 夹逼准则夹逼准则 (准则准则1)证证: 由条件 (2) ,当时,当时,令则当时, 有由条件 (1)即故 例例5. 证明证明证证: 利用夹逼准则利用夹逼准则 .且由2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则准则2 )例例6. 设设证明数列极限存在 . 证证: 利用二项式公式利用二项式公式 , 有有大大 大大 正正又比较可知根据准则 2 可知数列记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为即有极限 .又*3. 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理柯西审敛原理)数列极限存在的充要条件是:存在正整数 N ,使当时,证证: “必要性必要性”.设那么时, 有 使当因而“充分性” 证明从略 .有内容小结内容小结1. 数列极限的 “  – N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则。