2022年黑龙江省高考数学（理科）真题（含答案）.pdf

2022年普通高等学校招生全国统一考试(黑龙江卷)数学(理科)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集U =1,2,3,4,5,集 合 用 满 足=1,3,则()A.2GM B.3GM C.4 eM D.2 .已知z =l-2 i,且z +应+Z?=O,其中小为实数，则()A.a=,b=2 B.a=1力=2 C.a=l,b=2 D.a =l,b =23.已知向量a,满足|a|=l,|)|=G,|a 2 b l=3,则a方=()A.-2 B.-1 C.1 D.24.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 a：仇=1 +1,a仇=1 +4 =1 +-，依此类推，其 中%w N*(Z =l,2,).则()A.b h5 B.C.Z?6 b2 D.b4 b75.设尸为抛物线C:y 2=4 x的焦点，点A在C上，点5(3,0),若|A/贝i J|A B|=()A.2B.2 7 2C.3D.3 06.执行下边的程序框图，输出的=（)17-2|P 2 P|0.记该棋手连胜两盘的概率为P，则（）A.p 与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大1 1.双曲线C 的两个焦点为月,工，以 C 的实轴为直径的圆记为。

过 工 作的切线与C3交于M,N 两点，且c o s/耳N g=二，则 C 的离心率为（)V 1 3V 1 71 2.已知函数 f(x),g(x)的定义域均为 R,且/(x)+g(2 -x)=5,g(x)/(x 4)=7 .若y =g(x)的图像关于直线x =2对称，g(2)=4,则 工/(6=(A.-2 1 B.2 2 C.-2 3 D.2 4二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.从甲、乙 等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为1 4 .过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为1 5.记函数/()=以)$(5 +0)(0,00兀)的最小正周期为T,若=,x=为/(%)的零点，则(0的最小值为.1 6 .己知x=X|和%=%2分别是函数/(幻=2/一e x?(a 0且a H l )的极小值点和极大值 点.若 否 Z，则a的取值范围是.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共6 0分.1 7 .(1 2 分)记 A B C 的内角 4,8,C 的对边分别为 a,b,c,已知 s i n Cs i n(A-B)=s i n Bs i n(C-A).(1)证 明:2/=+/；25(2)若a =5,c o s A =，求 A B C的周长.1 8 .(2 分)如图，四面体 A 8 C D中，A D C D,A D =C D,Z A D B =Z B D C ,E 为 A C 的中点.（1）证明：平面平面AC D；（2）设AB=BO =2,N A C3=6 0,点 尸 在 上，当 A F C的面积最小时，求C R与平面A 3。

所成的角的正弦值.1 9.（1 2 分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了 1 0棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积（单位：n?）和材积量（单位：n?）,得到如下数据：样本号i1 23456789 10总和根部横截面积百0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.060.6材积量力0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.403.910 10 10并计算得 Z X：=0.038,Z y：=1 -6 1 5 8,Z 玉X =0.24 7 4 .i=l i=l i=l（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为1 8 6 m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.（一）（-刃附：相关系数r二产 “x 1.37 7 .V f=l i=20.（1 2 分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过4（0,-2）,3（|,-1）两点.（1）求 E 的方程；（2）设过点P。

2）的直线交E 于 M,N两点，过 M 且平行于x 轴的直线与线段AB交于点 T,点 H满足“7 =7 7/.证明：直线HN过定点.2 1.（12 分）己知函数/（x）=ln（l+x）+a c e-*.（1）当a =l时，求曲线y =/（x）在点（0,/（0）处的切线方程；（2）若“X）在区间（1,0）,（0,”）各恰有一个零点，求”的取值范围.（二）选考题，共 10 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2 .选修4-4：坐标系与参数方程（10 分）在 直 角 坐 标 系 中，曲线C的参数方程为 x =G c o s 2 f 为参数）.以坐标原点为极y-2 si nZ点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为p si n（e +；）+/”=0.（1）写出/的直角坐标方程；（2）若/与 C有公共点，求胴的取值范围.2 3 .选修4-5：不等式选讲（10 分）3 3 3已 知 小b,C都是正数，且/+辰+9=1,证明：、，1（1）abc ；9(2)a b c-1-1-b+c a+c a+h12 5/abc2022年普通高等学校招生全国统一考试（黑龙江卷）数 学（理科）参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本 题 共 12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 2.A 3.C.4.D 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D 11.C 12.D二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.(x-2)2+(y-3)2=1 3 (x-2)2+(y-l)2=5sg三、解答题：共 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共 60分.17.(1)证明：因为sinCsin(A-B)=sinB sin(C-A),所以 sin C sin A cos 3 sin C sin B cos A=sin 3 sin C cos A sin 3 sin A cos C，由I、I a2+c2-b2 b2+c2-a2,a2+b2-c2所以 Q C-2bc-=-ab-2ac 2bc2ab即。

2+；_出+天 _叫=/2+；-2所以 2 a*=b2+c2;(2)2 5解：因为 a =5,c os A =一,3 1由(l)得2+0 2 =5 0，由余弦定理可得a?=b2+c2-2 bccosA,E为AC的中点，所以A C L D E；在 A A B D 和 ACBD 中，因为 A D =C O,ZADB=ZCDB,DB=DB,所以 A B g a C B D,所以A 6 =C 6,又因为E为AC的中点，所以A C J的;又因为DE,BE u平面B E D，D E c B E =E,所以A C,平面3匹，因为A C u平面A C D,所以平面B E平面A C2)连接EF,由(1)知，A C J平面8 )，因为E F u平面3 )，所以AC_LE/，所以S&F C=：A C 7 当即时，E E最小，即ART的面积最小.因为ABZ注C 3 O,所以CB=AB=2,又因为NACB=6 0 ,所以AA B C是等边三角形，因为E为AC的中点，所以A=EC=1,B E =6，因为A D L C D,所以E=，AC=1,2在 AD E B 中，D E2+B E2=B D2 所以 BE_LE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则4(1,0,0),网0,有0),0(0,0,1),所 以 而=(-1,0,1),丽=卜1,布 ,设平面43)的一个法向量为=(x,y,z),n-A D=-x +则 一n-A B =-x+(行 3、(C 3、又因为“一1,0,0),0,学工|,所以学6 473l ，取y=6，则”=(3,6,3),回=0-、)设C F与平面曲所成的角的正弦值为。

0|+%=获百4(4 +4 k 2/)%=3 炉+4-2 4 k,*、且 不%+/X =3储+4y=y 3联立 2 可得 T(m +3,y),H(3 y+6%，x).y=x-2 2I 3可求得此时g一=,将(0,-2),代入整理得 2(%+%)-6(x +%)+%+-3 y%-1 2=0 ,将(*)代 入,得2 4 k+1 2后2 +96+4 8%-2 4 k-4 8-4 8%+2 4 k2-3 6-4 8 =0,显然成立,综上，可得直线H N过定点（0,-2）.21.(1)/(x)的定义域为(-1,+8)Y当 a =1 时,/(x)=l n(l +x)+=,/(0)=0,所以切点为(0,0)e11 _ yf(x)=-+,/(0)=2，所以切线斜率为2l +x e所以曲线y=f M在点(0,/(0)处的切线方程为y=2x(2)a,、,、x OXf(x)l n(l +x)+e，+-J+a(2)l+x e*(l +x)eJ设 g(x)=e*+a(l-x 2)1 若 a 0,当无 e(l,O),g(x)=e +a(l x 2)0 w/，(x)o所以/(A)在(-1,0)上单调递增,/(x)0所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(x)g(0)=1 +a.0,即f(x)0所以f M在(0,+8)上单调递增,/(x)/(0)=0故/)在(0,+8)上没有零点，不合题意3 若T当 x e (0,+oo)，则 g(x)=e -2a t 0,所以 g(x)在(0,+oo)上单调递增g(0)=l +a 0所以存在 m e (0,1),使得 g(?)=0,即/,(m)=0当 x G(0,加),/(x)0,/(%)单调递增所以当 x w (0,ni),f(x)+oo,/(x)+0 0所以/(X)在(?,+8)上有唯一零点又(0,m)没有零点，即/(x)在(0,+oo)上有唯一零点当 x e(-l,0),g(x)=e*+a(l x 2)设 h(x)=g(x)-ev-lax/i (x)=e*-2a 0所以g(x)在(1,0)单调递增,1 ,g(_ l)=_ +2a 0e所以存在n e (T,0),使得g()=0当 x e (-1,n),g(x)0,g(x)单调递增,g(x)g(0)=1 +a oe所以存在r e(-l,)，使得gQ)=0,即/=0当x e (-1 j),/(x)单调递增，当x e Q,0),/(幻 单调递减有 X 1,/(x)OO而/(0)=。