概率论第7章答案.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑概率论第7章答案 第7章习题答案 总11页第1页 第七章 参数估计 (一)根本题 ?11 (1) E(X)?令 ????1?xf(x)dx??(??1)xdx?0??1 ??2??1??2X?1 ?X，得未知参数?的矩估计量为 ???21?X11?? （2） 由于E(X)?,所以p的矩估计量为 pXp1?? 2???1??X?1 令 ???X，解得?矩估计量为 ?22(3) E(X)??2(x??)xf(x,?)dx?2xedx????1??（4）E(X)????xf(x,?)dx??xdx???0???1，令 ???1?X， X????解得?矩估计量为 ??1?X????? ??x??1?exp???dx??1??2 ???2???12x?x??1?22exp?dx?(???)????122 ???2???12??2（5） E(X)?2???xf(x;?1,?2)dx??2?? E(X)??xf(x;?1,?2)dx?x2??1??2?X?令 ?1n2 22(?1??2)??2??Xi?ni?1???X???, ???解得参数?1,?2的矩估计量为: ?122??|x|1n2Xi?(X)2 ?ni?1x??(6) 由于一阶矩E(X)??xf(x,?)dx??edx?0,它与?无关,所以还务必求二 2?????x2??x2??阶矩,E(X)??xf(x,?)dx??edx??edx?2?2 2??????022??|x|?x1n21n2??令 2???Xi，解得参数?的矩估计量为 ?Xi ?ni?12ni?12 (1)设x1,x2,?,xn是相应于X1,X2,?,Xn的样本，那么似然函数为 2?n???n?(??1)n???xi??,0?xi?1,i?1,2,?,n L(?)??f(xi)???i?1?i?1?0,其它?当0?xi?1,i?1,2,?,n时，L(?)?0,并且有 第7章习题答案 总11页第2页 n lnL(?)?nln(??1)???lnxi?1i ndlnLn???1?令 ???lnxi?0，解得?的极大似然估计值为 ?d???1i?1n?lnxi?1n i???1?从而?的极大似然估计量为 ?n?lnXi?1n i(2) 设x1,x2,?,xn是相应于X1,X2,?,Xn的样本，那么似然函数为 L(p)??p(1?p)i?1nxi?1?p(1?p)i?1n?xi?nn lnL?nlnp?(?xi?n)ln(1?p) i?1n令 dlnLni?1??dpp1?pn??xin???0，解得p的极大似然估计值为p1 x1 X(3) 设x1,x2,?,xn是相应于X1,X2,?,Xn的样本，那么似然函数为 ??从而?的极大似然估计量为p??2(xi??)?2ne?i?1,xi??,i?1,2,?,n L(?)??f(xi,?)??i?1?0,其它?nn当xi??(i?1,2,?)时,L(?)?0,并且 lnL(?)?nln2?2由于 ?(xi?1ni??) dlnL?2n?0,所以L(?)单调递增. d? 由于务必得志xi??(i?1,2,?),因此??x(1)?min{x1,?,x(n)}时, L(?)取最大 ??x,极大似然估计量为 值,所以?的极大似然估计值为?(1)??X?min{X,?,X} ?(1)1n(4) 设x1,x2,?,xn是相应于X1,X2,?,Xn的样本，那么似然函数为 nL(?)??i?1?n?2f(xi,?)???(x1x2?xn)?0,???1,0?xi?1,i?1,2,?,n 其它nn当0?xi?1,i?1,2,?,n时,L(?)?0,并且 lnL?ln??(??1)?lnxi 2i?1lnxi?n2dlnLni?1????0，解得?的极大似然估计值为 ??令 2nd?2?2???lnxi????i?1?n第7章习题答案 总11页第3页 ??lnXi????i?1?(5) 设x1,x2,?,xn是相应于X1,X2,?,Xn的样本，那么似然函数为 ???的极大似然估计量为 ?n2n2 ?1?1n??nexp???(xi??1)?,xi??1,i?1,2,?,n L(?1,?2)??f(xi,?1,?2)???2??2i?1?i?1?0,其它?所以当xi??1,i?1,2,?n时,L(?1,?2)?0,并且 n?11n lnL??nln?2? x??in?2i?1?2?lnLn??0,所以L(?1,?2)是?1的单调递增函数, 由于务必得志??1?2xi??1,i?1,2,?n,所以对于任意给定的?2, L(x(1),?2)?infL(?1,?2) 由于 ?1令 ?lnL(x(1),?2)??2??n?2??xi?1ni?nx(1)22??0 ??x?x,所以?,?的极大似然估计值分别为 ???x ???x?x 解得 ?122(1)1(1)2(1)??X ???X?X ?1,?2的极大似然估计量分别为 ?1(1)2(1)(6) 设x1,x2,?,xn是相应于X1,X2,?,Xn的样本，那么似然函数为 1?nf(x,?)??ei?1 ?i2i?1?n1ndlnL?n1取对数 lnL?ln???|xi|，令 ??2?i?1d?2??21n???|xi| 解得?的极大似然估计值为 ?ni?11n???|Xi|. 所以?的极大似然估计量为 ?ni?13 设x1,x2,?,xn是相应于X1,X2,?,Xn的样本，似然函数为 L(?)? L(p)?n?|x1|??1n?|xi?1ni|?0 ?P{X?xi}?pi?1n?xii?1nmn?(1?p)?xii?1n?m????x?? i?1?i?n取对数,得 lnL(p)??m??xlnp?(mn?x)ln(1?p)?ln???ii?x?? i?1i?1i?1?i?nnndlnL(p)?令 dp?0 1?p1n1??得p的极大似然估计值为 px??imx mni?1p?xi?1ni?mn??xii?1n第7章习题答案 总11页第4页 1n1??所以p的极大似然估计量为 pX?X ?imni?1m??x,又P{X?0}?e??,所以根据极大似然估计的性4 (1)已知,?的极大似然估计值为?质,P{X?0}的极大似然估计值为e (2) 查看到的五年内每一扳道员引起的严重事故的平均次数为 ?x1137(0?44?1?42?2?21?3?9?4?4?5?2)??1.123 122122所以一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率p的极大似然估计值为 x???e?1.123?0.3253 p5. (1) E(X)?E(e)? ?Z12????ze?e?(z??)22?2dz ??12??????exp{?12?2(z2?(2??2?2)z?(???2)2?2??2??4)}dz ?1212112?exp{???} ?exp{ ???}exp{?(z????)}dz2?222?2???? (2) 可以将lnx1,lnx2,?,lnxn视为取自总体Z?lnX的样本,那么由于 Z~N(?,?2),因而可得参数?,?2的极大似然估计值分别为 1n1n2???lnxi, ????(lnxi???) ?ni?1ni?1??(X)?exp?{故由极大似然估计的性质,可得E(X)的极大似然估计值为 E?12?} ?21n1n2???lnxi?3.0909???(lnxi???)?0.5115, (3) 经计算得,?,?ni?1ni?112????}=28.4073 (X)?exp{?所以, 一个句子字数均值的极大似然估计值为E?26.由正态分布的性质以及样本的独立性可知Xi?1?Xi~N(0,2?2) 因此 E(Xi?1?Xi)2?D(Xi?1?Xi)?2?2 n?1?n?12?欲使 ??E?c?(Xi?1?Xi)??c?E(Xi?1?Xi)2?2(n?1)c?2 i?1?i?1?n?11122务必 c?，因此，当c?时，统计量c?(Xi?1?Xi)为?的无偏估计. 2(n?1)2(n?1)i?1??b??)?aE(??)?bE(??)?(a?b)? ?均为参数?的无偏估计，所以E(a?7. 由于??和?2121212??b??是?的无偏估计，务必a?b?1，即b?1?a. 欲使a?12?的独立性以及题设条件,有 从而由??1和?2??b??)?a2D(??)?(1?a)2D(??)?[2a2?(1?a)2]D(??)?(1?2a?3a2)D(??)D(a?1212221上式右边当a?时达成最小. 312??b??是?的无偏估计,并且在全体这样的无偏估计 综上所述,当a?,b?时, a?1233中方差最小. 第7章习题答案 总11页第5页 8.（1）由于总体X按照参数为?的泊松分布，所以其数学期望和方差均为?，由于样本均值和样本方差是总体均值和方差的无偏估计，所以有 E(X)?E(S2)?? 从而 E[?X?(1??)S2]??E(X)?(1??)E(S2)?? 所以?X?(1??)S2为?的无偏估计量 ??X,所以由极大似然估计的性质,?的极大似然估计（2）已知,?的极大似然估计量为?M2?2?(X)2. 量为?Mn?2?(X)2?X ?2?(X)2不是?2的无偏估计,令 ?因此?Mn?2)?E(X2)?1E(X)????2????2 那么有 E(?nnn?2?(X)2?X是?2的一个无偏估计量. 所以?n2?2?(X)2?Xi(i?1,2,?.n)都是?2无偏估计量. 注:?的无偏估计量不唯一,如统计量?in9. 由题意知,X的概率密度和分布函数分别为 x???0,1,??x???1?? F(x)??x??,??x???1 f(x)??其它?0,?1,x???1?因此,最大依次统计量X(n)的概率密度为 f(n)(x)?n[F(x)]?n?1?)?E(X)?D(X)?[E(X)]?(3) 由于 E(?M222???2 ?n(x??)n?1,??x???1 f(x)??0,其它???11所以, E(X(n))?????xf(n)(x)dx???12?n?1n?1?nx(x??)dx ?n?(t??)tdt?01n?1n?? n?1 E(X2(n))????xf(n)(x)dx?22??nx(x??)2dx?n?(t??)2tn?1dt?0n2n????2 n?2n?1n (n?2)(n?1)2?)?E(X)?1?E(X)?1?????1?1?? 于是 E(?12222?)?E(X)?。