专题15 导数压轴题-备战2022年新高考之山东模拟题分类汇编（解析版）.docx

专题15 导数压轴题1．（2021•潍坊一模）已知函数．（1）若曲线在点，处的切线经过坐标原点，求实数；（2）当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）的导数为，可得曲线在点，处的切线的斜率为，，即切点为，，由于切线经过原点，可得，解得；（2）因为，所以，所以，可化为，设，，设，，可得即在递增，又，，所以存在，使得，当时，递减；当，时，递增，所以，对于连续函数，在时，递减，在，时，递增，又因为，当即时，有唯一零点在，上，当即时，在上无零点，综上可得，当时，函数在有唯一零点；当时，函数在没有零点．2．（2021•菏泽一模）已知函数，．（1）若有唯一零点，求的取值范围；（2）若恒成立，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）【详解】（1）由有唯一的零点，故方程有唯一的实数根，即有唯一的实数根，令，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，的最大值为（e），又（1），所以时，，又当时，，综上可得，的取值范围为或；（2）因为恒成立，即对恒成立，所以对恒成立，令，则，令，则，故在上单调递减，又，（1），由零点的存在性定理可知，存在唯一的零点，使得，即，两边取对数可得，，即，由函数为单调函数，可得，由以上分析可知，在上单调递增，在，上单调递减，所以，故，所以的取值范围为．3．（2021•青岛一模）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点，处的曲率．已知函数，，若，则曲线在点，（1）处的曲率为．（1）求；（2）若函数存在零点，求的取值范围；（3）已知，，，证明：．【答案】（1）；（2），；（3）见解析【详解】（1）解：，若，则，，，因为曲线在点，（1）处的曲率为，所以，又，所以．（2）解：由（1）可得，若函数存在零点，则方程在上有解，即在上有解，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以（1），当且仅当时取等号，从而，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时等号成立，当时，，所以，解得，即实数的取值范围是，．（3）证明：由（2）得，则，则，又，则，所以．4．（2021•山东模拟）已知函数，为的导函数．（1）求函数的极值；（2）设函数，，讨论的单调性；（3）当时，，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，的极小值，无极大值；（2）见解析；（3），【详解】（1），因为，所以在单调递增，又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，的极小值，无极大值．（2），由（1）知，，即，当时，，，在上单调递增，当时，令，得，于是当，，，单调递减，当，，，单调递增，综上，当时，在单调递增，当时，在上单调递减，在单调递增．（3）令，则，，，，的导函数，因为，，所以，在，上单调递减，当时，对任意时，，所以在，上单调递减，所以对任意时，，当时，因为在，上单调递减，，当时，，故，使，且时，，单调递增，所以，与任意，矛盾，所以实数的取值范围为，．5．（2021•山东模拟）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1）当时，，则，所以（1），又（1），所以切线方程为，即．（2）证明：由题意得，则，因为函数有两个极值点，，所以有两个不相等的实数根，，令，则，①当时，恒成立，则函数为上的增函数，故在上至多有一个零点，不符合题意；②当时，令，得，当，时，，故函数在，上单调递减；当，时，，故函数在，上单调递增，因为函数有两个不相等的实数根，，所以，得，不妨设，则，，又，所以，，令，则，所以函数在上单调递增，由，可得，即，又，是函数的两个零点，即，所以，因为，所以，又，函数在，上单调递减，所以，即，又，所以，因此．6．（2021•济宁一模）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若（1）且，证明：，，．【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）见解析【详解】（1）函数，故函数的定义域为，则，令，解得或，因为，所以，则当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，故的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）证明：欲证，，，即证，，，令，，令，，当时，，所以在，上单增，所以（1），所以，所以在，上单增，所以，欲证，，，只需证①，因为（1），所以，即②，令，则，当时，，所以在上单增，所以（1），即，所以，故②可变形为，欲证①，只需证，仅需证，令，，所以在上单增，故（1），即，所以结论得证．7．（2021•济南一模）已知正项数列，，，．证明：（1）；（2）；（3）．【答案】见解析【详解】证明：（1）令，，，则在递增，则，令，则，即有，即；（2）等价为，可设，，，设，，可得在递增，即有，则在递增，即有，令，则，所以；（3）令，，，在递增，令，则，即有，即，当时，；当时，；由，两边除以，可得，则，可得，所以，则．8．（2021•山东模拟）已知函数．（1）讨论函数的极值点的个数；（2）已知函数有两个不同的零点，，且证明：．【答案】（1）当时，无极值点；当时，有2个极值点；（2）见解析【详解】（1）解：函数，故的定义域为，则，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值（1），当时，（1），则，所以在上单调递减，此时无极值点；当时，（1），因为，，所以在上有且只有一个零点，所以在上有且只有一个极值点，又，，所以在上有且只有一个零点，所以在上有且只有一个极值点．综上所述，当时，无极值点；当时，有2个极值点．（2）证明：函数，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得最小值（1），因为函数有两个不同的零点，，且，所以（1），即，所以，又，令，则，令，则，所以单调递增，所以（e），所以，所以单调递增，所以（e），所以，所以，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取到最大值为（1），所以，即，所以，令，则，所以，所以．9．（2021•滨州一模）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，求函数在区间上零点的个数．（附：对于任意，都有．【答案】见解析【详解】（1）函数，，令，△，当△，即时，，且不恒为0，所以在上单调递减；当△，即时，有两个不同的零点，，，开口向下，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；时，，，单调递减．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在，，上单调递减，在，上单调递增．（2）因为，由（1）可知在，，上单调递减，在，上单调递增，（2），又，所以，因为在，上单调递增，所以（2），（2），由零点存在定理可知在区间，上有一个零点．（a），则（a），设（a），则（a）在上恒成立，所以（a）在上单调递增，所以（a），所以（a），所以（a）在上单调递减，所以（a），又，，，结合的单调性可知，由零点存在定理可知在，上有一个零点，因为对于任意，都有，所以，所以，又，，，结合函数的单调性可知，由零点存在定理可知在区间，有一个零点．综上可得，当，函数在区间上零点的个数为3．10．（2021•临沂一模）已知函数，．（1）判断的单调性，并求的最值；（2）用，表示，的最大值，记函数，，讨论的零点个数．【答案】（1）；（2）见解析【详解】（1），①当时，，在上是增函数，②当时，，在上是减函数，所以最小值为；（2）函数的定义域为，其中（1），①当时，（1），则函数，无零点；②当时，，下面讨论的零点情况，（当时取等号），，当时，，此时在，上无零点，因为的零点为，故有一个零点；当时，，，（1）（1），所以在，上有一个零点，故有两零点；当时，，所以，因为，所以，所以在，上单调递减，又，所以在上恒成立，在上恒成立，所以在取得极大值，此时，又因为当时，，所以在上有一个零点，又（1），当（1），即时，在，上有一个零点，故有一个零点；当（1），即时，在，上有两个零点，故有两个零点；当（1），即时，在，上有两个零点，故有三个零点；综上所述，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点．11．（2021•德州二模）已知函数，且曲线在点，（1）处的切线斜率为1．（1）求实数的值；（2）设在定义域内有两个不同的极值点，，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，令且，总有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1），（1），解得．（2）由（1）可得：，，，．令，．在定义域内有两个不同的极值点，，则，在上有两个不相等的实数根．△，，，解得，因此的取值范围是．（3）由（2）可知：，，．，解得，，成立，即成立，即成立，即成立，由，；由，．令，．，．①时，，函数在上单调递增，且（1）．时，，不符合题意，舍去．②时，令，△．当△时，即时，，函数在上单调递减，且（1）．可得：由，；由，．成立．当△时，即时，函数的对称轴，且（1），令，，则时，，即，函数在上单调递增，且（1），，不符合题意．综上：．12．（2021•济南模拟）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．【答案】见解析【详解】（1）解：函数的定义域为，，令，△，当时，，，在上单调递增；当时，△，，，在上单调递增；当时，△，设方程的两个根为，，且，则，，当或时，，，当时，，，故在，上单调递减，在和，上单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在和，上单调递增．（2）证明：由（1）可得，当时，在上单调递增，所以（1），故在上恒成立．（3）证明：由（2）知，当时，，当时，，要证，只需证，只需证，令，，，所以在上为增函数，所以，所以在上为增函数，，即，故当时，．（另解）要证当时，，即证，即证，令，即证，，令，，在上单调递减，所以，所以，所以单调递减，又，所以，所以当时，，成立．13．（2021•聊城模拟）已知函数，．（1）求函数的最小值；（2）若关于的不等式在，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2），【详解】（1），．令，则．在上恒成立，在上单调递增．又，当时，；当时，．即，当时，；当时，，在，上单调递减，在，上单调递增，因此，的最小值为；（2）不等式，即，等价于．设，则由题意得在，内恒成立．，．①当时，，这时，使当时，，从而在，上单调递减，又，当时，，这与在，内。