概率分布以及期望和方差.doc

学辅教育 成功就是每天进步一点点！概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师：上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差上课规划：解题技巧和方法一 两点分布知识内容⑴两点分布如果随机变量的分布列为其中，，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布．两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．（2）典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．典例分析1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令，如果针尖向上的概率为，试写出随机变量的概率分布．2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用表示“取到的白球个数”，即，求随机变量的概率分布．3、若随机变量的概率分布如下：01试求出，并写出的分布列．3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量试写出随机变量的分布列．4、篮球运动员比赛投篮，命中得分，不中得分，已知运动员甲投篮命中率的概率为．⑴ 记投篮次得分，求方差的最大值；⑵ 当⑴中取最大值时，甲投次篮，求所得总分的分布列及的期望与方差．二 超几何分布知识内容将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：…………一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为，为和中较小的一个．我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列．超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则，．典例分析例题：一盒子内装有个乒乓球，其中个旧的，个新的，从中任意取个，则取到新球的个数的期望值是 ．练习1.某人参加一次英语口语考试，已知在备选的道试题中，能答对其中的题，规定每次考试都从备选题中随机抽出题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．练习2.以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．练习3.在个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数．求的期望值及方差．三 二项分布知识内容若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于是得到的分布列…………由于表中的第二行恰好是二项展开式各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，．二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，．典例分析二项分布的概率计算例题：已知随机变量服从二项分布，，则等于 ．练习1.甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（ ）A． B． C． D．练习2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）练习3.某人参加一次考试，道题中解对道则为及格，已知他的解题正确率为，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到）例题:从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留位有效数字）．练习1.一台型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有台机床需要工人照看的概率是（ ）A． B． C． D． 练习2.设在4次独立重复试验中，事件发生的概率相同，若已知事件至少发生一次的概率等于，求事件在一次试验中发生的概率．例题：某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是．若某人获得两个“支持”，则给予万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴ 该公司的资助总额为零的概率；⑵ 该公司的资助总额超过万元的概率．练习1.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润元；若顾客采用分期付款，商场获得利润元．⑴ 求位购买该商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率；⑵ 求位位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元的概率．练习2.某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金元．某顾客消费了元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金元的概率．例题：设飞机有两个发动机，飞机有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率是的函数，其中为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞机与飞机哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．练习1.假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是，且各发动机互不影响．如果至少的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？练习2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．⑴设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；⑵设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．二项分布的期望与方差例题:已知，求与．练习1.已知，，，则与的值分别为（ ）A．和 B．和 C．和 D．和练习2.已知随机变量服从参数为的二项分布，则它的期望 ，方差 ．练习3.已知随机变量服从二项分布，且，，则二项分布的参数，的值分别为 ， ．练习4.一盒子内装有个乒乓球，其中个旧的，个新的，每次取一球，取后放回，取次，则取到新球的个数的期望值是 ．例题：甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别是．⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；⑵ 用表示乙投篮3次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望．练习1.抛掷两个骰子，当至少有一个点或点出现时，就说这次试验成功．⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵ 求在次试验中成功次数的分布列及的数学期望与方差．练习2.某寻呼台共有客户人，若寻呼台准备了份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？四 正态分布知识内容概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则．ƒ若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，，称为标准正态分布函数．．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．典例分析（一）正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）1.下列函数是正态分布密度函数的是（ ）A． B． C． D．2.若正态分布密度函数，下列判断正确的是（ ）A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但没最小值 C．有最大值，但没最大值 D．无最大值和最小值3.对于标准正态分布的概率密度函数，下列说法不正确的是（ ）A．为偶函数 B．最大值为C．在时是单调减函数，在时是单调增函数 D．关于对称4.设的概率密度函数为，则下列结论错误的是（ ）A． 　　　　　　　　　B．C．的渐近线是　　　　　　　D．（二)求的取值以及概率例题：设，且总体密度曲线的函数表达式为：，．⑴求；⑵求及的值．练习1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题中不正确的是（ ）A．该市这次考试的数学平均成绩为分B．分数在120分以上的人数与分数在分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在分以下的人数相同D．该市这次考试的数学标准差为（三）正态分布的性质及概率计算例题:设随机变量服从正态分布，，则下列结论正确的个数是．⑴⑵⑶⑷练习1.已知随机变量服从正态分布，则（ ）A． B． C． D．练习2.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为 ．练习3.已知随机变量服从正态分布，，则A． B． C． 。