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高等数学竞赛一、 填空题⒈ 若，则a = ，b = ．⒉ 设, 则的间断点为 ．⒊ 曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为 　　　　　　　　 ．⒋ 已知，且f (1) = 0, 则f (x) = 　　　　　　　 ．⒌ 设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．⒍ 设，则　　　　　　　 ．⒎若时， 与是等价无穷小，则a= .⒏ 设，则　　　　 ．⒐ 由定积分的定义知，和式极限　　　　　　 ．⒑ ．二、 单项选择题 11．把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 　　】(A) . (B) . (C) . (D) . 12．设函数f(x)连续，且则存在，使得 【 　　】 (A) f(x)在（0，内单调增加. （B）f(x)在内单调减少.（C）对任意的有f(x)>f(0) . (D) 对任意的有f(x)>f(0) . 13 . 设, 则 【 　　 】（A）是的极值点, 但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点, 但是曲线的拐点.（C）是的极值点, 且是曲线的拐点.（D）不是的极值点, 也不是曲线的拐点. 14 . 等于 【 　　 】（A）. （B）. （C）. （D） 15 . 函数在下列哪个区间内有界. 【 　　 】(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). 16 . 设f (x)在(- , +)内有定义，且， ，则 【 　　 】(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点. (D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关.17 . 设在[a , b]上连续，且，则下列结论中错误的是【 　　 】 (A) 至少存在一点，使得> f (a). (B) 至少存在一点，使得> f (b). (C) 至少存在一点，使得. (D) 至少存在一点，使得= 0. 18 . 设，，则 【 　　 】 (A) F(x)在x = 0点不连续. (B) F(x)在(- , +)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F(x)在(- , +)内可导，且满足. (D) F(x)在(- , +)内可导，但不一定满足. 三、解答题19．求极限.20．设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.(Ⅰ)写出在上的表达式;(Ⅱ)问为何值时, 在处可导.21．设 f（x），g（x）均在［a, b］上连续，证明柯西不等式 22．设, 证明.23曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ) .24．设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足，x [a , b)，.证明：.25． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、若，则 （A） （B） （C） （D）2、设 ，其中在处可导且，，则是的 （A） 连续点 （B） 第一类间断点 （C） 第二类间断点 （D）以上都不是3、设常数，函数在内零点的个数为 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 34、若在上有，且，，则，，的大小关系为 （A） （B） （C） （D） 5、由平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为 （A） （B） （C） （D） 6、关于平面的对称点是 （A） （B） （C） （D）7、设为，是位于第一象限的部分，连续，则 （A） （B） （C） （D）8、为常数，则级数 （A） 绝对收敛（B）发散C） 条件收敛（D） 收敛性与的取值有关二、填空题1、 。

2、具有个不相等实根的次多项式，其一阶导数的不相等实根至少有 个3、对数螺线在点处的切线的直角坐标方程为 4、设是的二次多项式，且，，则 5、设，则 6、 7、若级数收敛，则常数 8、三重积分 8*、已知曲线与轴相切，则可以通过表示为 9、设为上半椭球面，已知的面积为S，则曲面积分 9*、级数的收敛区间为 10、三元函数在点处沿该点的向径方向的方向导数为 10*、设，且可微，则 11、设 ，则曲线的长度为 11*、若，则 12、设都是单位向量，且满足，则 12*、函数的拐点为 三、按要求做下列各题1、求极限2、已知函数对一切满足且在点处取得极值，问是极大值还是极小值，并证明你的结论。

四、计算下面积分1、 2、五、为上的连续函数， ,求六、周长为的等腰三角形绕其底边旋转，问此等腰三角形的腰和底边之长各为多少时，才可使旋转体的体积为最大？ 七、连续可导，，证明：在内存在，使得八、设函数由方程组 所确定，求，九、1、已知，为大于零的常数其中是依次连结的有向折线2、计算曲面积分 ，其中为曲面的上侧提示：先补充两个曲面，取下侧；，取下侧，其中常数充分小，使上半球面与积分曲面互不相交九*、1、已知是的一个原函数，而是微分方程满足初始条件的解，试将展开成的幂级数，并求的和2、如下图，曲线C的方程为，点是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点与处的切线，其交点为设函数具有三阶连续导数，计算定积分 高等数学竞赛一、 填空题⒈ ⒉ .⒊ 设函数由方程确定，则= 4. 5. 广义积分6. 绕旋转所成的旋转体的体积为 7. 由确定, 则⒏与平行的切平面的方程是⒐ 设，则 ⒑ 交换二次积分次序的积分次序 11. 12. 设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 . 二、单项选择题 13. 设函数，其中在处连续，则是在处可导的【 】(A) 充分必要条件. （B）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 14．设在[0，1]上连续，且【 】（A） （B） （C） （D） 15．下列等式中正确的是 【 】（A） （B）（C） （D）16 . 等于（A）（B）.（C）.（D）.17. 设为连续函数，则等于【 】（A） （B） （C） （D） 18. 设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是【 】（A）若，则. （B）若，则.（C）若，则.（D）若，则. 19. 设为椭圆，其周长记为, 则【 】（A）. （B） .（C） （D） .20.级数收敛，级数【】（A）收敛.（B）收敛.（C）收敛.（D）收敛.三、解答题21．极限22．设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.(Ⅰ)写出在上的表达式;(Ⅱ)问为何值时, 在处可导.23.求通过点的直线中，使得为最小的直线方程。

24． 求曲面夹在二曲面之间的部分的面积25． 计算 ，其中是沿着椭圆的正向从到的一段弧26．设为可微函数，且，试求27．设在上连续，在内可导，证明存在使28．已知曲线的方程为（Ⅰ）讨论的凹凸性；（Ⅱ）过点引的切线，求切点，并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积高等数学竞赛一、填空题7、设曲线在点处的法平面为，则点到的距离是 ( )8、设，则( )二、选择题13、曲线在点处的切线方程为 ( )A. B.C. D.14、设，则 ( )A. B. C. D. 15、若，则区域可以表示为 ( )A. B. C. D. 16∑为z=2－(x2+y2)在xoy上方部分， 17、若是某二元函数的全微分，则a,b的关系是 ( )A. B. C. D. 18、设曲线C是由极坐标方程r=r(θ)(θ1≤θ≤θ2)给出，则A. B.C. D.19、为任意正的实数，若级数，都收敛，有（　　） A. 　 B. C. 　　 D. 20、下列级数中发散的级数是 （　　）（A）；（B）；（C）； （D）。

一、解答题求极限1、 2、 为何值时，在处连续 4、设在上连续，且试求5．设，求6． 计算二次积分7．计算二重积分其中D： 8．计算极限 其中D：二、证明题1． 试证：为偶函数2． 证明恒等式在时成立3．设对一切满足，且在处连续，求证：在任意处连续4．设 f（x），g（x）均在［a, b］上连续，证明柯西不等式三、应用题1．曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)计算极限.高等数学竞赛一、填空1．设，且.则的定义域为 .2求= .3．设，则 . 4．求 .5．曲线的拐点为 . 6．函数在上的最大值为 .7．求 . 8．求 .9．求 . 10．设连续，则 .11．求 12．由曲线及。