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第三节一、三重三重积分的概念分的概念 二、三重二、三重积分的分的计算算机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿三重积分 第九章 9/12/2024一、三重一、三重积分的概念分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 引例引例: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的物质,求分布在  内的物质的可得“大化小大化小, 常代常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024定定义. 设存在,称为体体积元素元素, 若对  作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重三重积分分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性性质: 例如 下列“乘中中值定理定理.在有界闭域  上连续,则存在使得V 为 的体积, 积和式” 极限记作作机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024二、三重二、三重积分的分的计算算1. 利用直角坐利用直角坐标计算三重算三重积分分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) 该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)为底, d z 为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024投影法方法方法3. 三次三次积分法分法设区域利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024当被积函数在积分域上变号时, 因为均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024小小结: 三重三重积分的分的计算方法算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次三次积分分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分所围成的闭区域 .解解:面及平面机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024例例2. 计算三重积分解解: 用用“先二后一先二后一 ” 机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/20242. 利用柱坐利用柱坐标计算三重算三重积分分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范适用范围:1) 积分域分域表面用柱面坐标表示时方程方程简单 ;2) 被被积函数函数用柱面坐标表示时变量互相分离量互相分离.机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024其中为由例例3. 计算三重积分所围解解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024例例4. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/20243. 利用球坐利用球坐标计算三重算三重积分分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024如图所示, 在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范适用范围:1) 积分域分域表面用球面坐标表示时方程方程简单;2) 被被积函数函数用球面坐标表示时变量互相分离量互相分离.机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024例例5. 计算三重积分解解: 在球面坐标系下所围立体.其中 与球面机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024例例6.求曲面所围立体体积.解解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz 机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024内容小内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*￿*￿说明明:三重积分也有类似二重积分的换元元积分公式分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成 ;机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/20241. 将用三次积分表示,其中由所提示提示:思考与思考与练习六个平面围成 ,机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/20242. 设计算提示提示: 利用对称性原式 = 奇函数机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/20243. 设由锥面和球面所围成 , 计算提示提示:利用对称性用球坐标 机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024作作业P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4)第四节￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024备用用题 1. 计算所围成. 其中  由分析分析：：若用“先二后一”, 则有计算较繁! 采用“三次积分”较好.机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024所围, 故可 思考思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便? 表为 解解:机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/20242. 计算其中解解:利用对称性机动￿￿￿目录￿￿￿上页￿￿￿下页￿￿￿返回￿￿￿结束￿9/12/2024。