2024-2025学年广东省广州市番禺区高二上学期教学质量监测数学试卷（含答案）.docx

2024-2025学年广东省广州市番禺区高二上学期教学质量监测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={−4,−3,0,6}，B=x∈Zx≤3，则A∩B的子集的个数为(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.若复数z满足1−2iz=4−3i，则z的虚部为(    )A. i B. −i C. 1 D. −13.已知等差数列an的前n项和为Sn，a7+a10=55，则S16=(    )A. 880 B. 440 C. 220 D. 1104.在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为BC的中点，则EF= (    )A. AC+12AB−23AD B. −12AC−12AB+23ADC. 12AC−12AB+23AD D. −12AC+12AB−23AD5.已知椭圆C:x24+y23=1与双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率互为倒数，则双曲线E的渐近线方程为(    )A. y=±12x B. y=±x C. y=± 3x D. y=±2 3x6.根据有关资料，国王与国际象棋发明者在棋盘放米的故事中，最后一个格子需放米粒的数量M为263，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与NM最接近的是(    )(参考数据：lg2≈0.30)A. 1061 B. 1071 C. 1081 D. 10917.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为kx−y−6k=0，若圆x2+y2−6x=0上有且仅有3个点到直线l的距离为32，则直线l的斜率为(    )A. 3 B. ± 3 C. 33 D. ± 338.已知函数fx=ex+mm∈R,m≠0，若存在实数x0∈−1,1，使得f−x0=−fx0，则实数m的取值范围是(    )A. −12e−e2,−1 B. −e−1e,−2 C. −2e−12e,0 D. −∞,−e−1e二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.在某校2000名学生中随机抽取了800名学生对2024年奥运会期间6场网球单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下： 观看场次0123456观看人数占调查人数的百分比(%)1555m10154m从表中数据可以得出的正确结论为(    )A. 表中m的数值为15 B. 估计该校学生观看场次的第三四分位数为6C. 估计该校学生观看场次的平均数为4 D. 估计该校学生观看场次不低于4场的 人数为130010.过▵ABC所在平面外一点P，作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接PA、PB、PC.下列说法正确的是(    )A. 若PA=PB=PC，∠ACB=90 ∘，则O是AB边的中点B. 若点P到▵ABC三条边的距离相等，则点O是▵ABC的内心C. 若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是▵ABC的垂心D. 若PA、PB、PC与平面ABC所成的角均相等，则点O是▵ABC的重心11.若直线l:x−my−2=0m∈R过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F，且与抛物线C交于A、B两点，则下列说法正确的是(    )A. p=8 B. ▵OAB重心的横坐标的最小值为43C. OA⋅OB=−12 D. 以线段AB为直径的圆被y轴截得的弦长为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知圆C经过原点和点A2,0，并且圆心在直线l:x−2y−1=0上，则圆C的标准方程为          ．13.空间内有三点E2,1,1，F1,2,2，P3,1,−4，则点P到直线EF的距离为          ．14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程x2a2+y2b2=1a>b>0，F1、F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，cos∠ABC=45，则该椭圆的离心率为          ．四、解答题：本题共5小题，共60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题12分)记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c−acosB=− 33bsinA．(1)求A；(2)若过▵ABC的 重心M的直线l与AB交于点D，BA与DM夹角为π4，且b=c=1，求AD．16.(本小题12分)已知数列an是公差大于1的等差数列，a2=3，且a1+1，a3−1，a6−3成等比数列，若数列bn前n项和为Sn，并满足Sn=2bn−2，n∈N∗．(1)求数列an，bn的通项公式．(2)若cn=an+1⋅bn，求数列cn前n项的和Tn．17.(本小题12分)阅读材料：函数知识有广泛的实际应用，如函数的凹凸性，可应用于风险评估、经济学模型构建及计算机科学等诸多领域．其中函数的凹凸性的定义如下．定义1：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈D(D⊆I)，都有fx1+x22≤fx1+fx22，则称y=f(x)为区间D上的凹函数．如图①，在区间D上，凹函数的形状特征：曲线上任意两点M1，M2之间的部分位于线段M1M2的下方．定义2：设函数y=f(x)是定义在区间I上的连续函数，若∀x1,x2∈D(D⊆I)，都有fx1+x22≥fx1+fx22，则称y=f(x)为区间D上的凸函数．如图②，在区间D上，凸函数的形状特征：曲线上任意两点M1，M2之间的部分位于线段M1M2的上方． 结合阅读材料回答下面的问题：(1)请写出一个R上的凹函数(不必说明理由)；(2)用定义证明fx=−x2+ax是R上的凸函数；(3)讨论函数fx=xx−a的凹凸性．18.(本小题12分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰梯形，AB//CD，CD//EF，AB=DE=EF=CF=2，CD=4，AE=2 3,AD=BC= 10，M是CD的中点．(1)证明：平面ABCD⊥平面CDEF；(2)求平面BCM与平面BEM所成角的余弦值；(3)是否存在点N段AM上，使得直线EN与平面BEM所成角的正弦值为3 1326？若存在，请求出AN的值；若不存在，请说明理由．19.(本小题12分)已知平面上两点Aa1,a2，Bb1,b2，定义它们之间的“D距离”为DAB=a1−b2+a2−b1.若动点M与两个定点F1−2,0，F22,0的“D距离”之和为6，则称动点M的轨迹为C．(1)求轨迹C的方程；(2)求轨迹C的面积；(3)若直线y=kx+2与轨迹C的外接椭圆E交于S,T两点，动点G满足GS=GT=GQ，其中Q的坐标为(0,−3)，记直线OG的斜率为k′，证明：k⋅k′为定值．参考答案1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.A 7.D 8.A 9.BCD 10.ABC 11.BC 12.x−12+y2=1 13. 14 14. 22 或12 2 15.解：(1)因为c−acosB=− 33bsinA，由正弦定理可得sinC−sinAcosB=− 33sinBsinA，又因为sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB，可得cosAsinB=− 33sinBsinA，且B∈0,π，则sinB≠0，可得cosA=− 33sinA，即tanA=− 3，又因为A∈0,π，所以A=2π3．(2)取BC的中点E，连接AE，因为b=c=1，A=2π3，可知AE⊥BC,∠BAE=π3，则AM=23AE=13，由题意可知：∠ADM=π4，则sin∠AMD=sin∠DAM+∠ADM= 32× 22+12× 22= 6+ 24，在△ADM中，由正弦定理可得ADsin∠AMD=AMsin∠ADM，所以AD=AM⋅sin∠AMDsin∠ADM=13× 6+ 24 22= 3+16，即AD= 3+16． 16.解：(1)设等差数列an的公差为dd>1，由a1+1,a3−1,a6−3成等比数列，则a3−12=a1+1a6−3，可得a2+d−12=a2−d+1a2+4d−3，由a2=3，则方程化简可得5d2−12d+4=0，解得d=2，易知a1=1，所以首项为1，公差为2的等差数列an的通项公式为an=2n−1．当n=1时，S1=2b1−2，则b1=2b1−2，解得b1=2；当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=2bn−2−2bn−1−2=2bn−2bn−1，可得bn=2bn−1，则数列bn是以−2为首项，以2为公比的等比数列，所以bn=2n．(2)由题意可得cn=2n⋅2n=n⋅2n+1，Tn=c1+c2+c3+⋯+cn=1×22+2×23+3×24+…+n⋅2n+1，2Tn=1×23+2×24+3×25+…+n⋅2n+2，两式相减可得−Tn=22+23+24+…+2n+1−n⋅2n+2，−Tn=41−2n1−2−n⋅2n+2=2n+2−22−n⋅2n+2=1−n2n+2−22，解得Tn=n−1⋅2n+2+4． 17.解：(1)例如gx=x2+bx，对∀x1,x2∈R，则gx1+x22−gx1+gx22=x1+x222+bx1+x22−x12+bx1+x22+bx22=−x1−x222≤0，即满足gx1+x22≤gx1+gx22，满足凹函数定义．(2)对于二次函数fx=−x2+ax，∀x1,x2∈R，则fx1+x22−fx1+fx22=−(x1+x22)2+ax1+x22−−x12+ax1−x22+ax22=(x1−x2)24≥0，即fx1+x22≥fx1+fx22，满足凸函数定义，所以二次函数f(x)=−x2+bx是凸函数．(3)由(1)可知二次函数y=x2+bx为凹函数，由(2)可知二次函数f(x)=−x2+ax是上凸函数，因为函数f(x)=xx−a=x2−ax,x>a−x2+ax,x≤a，其图象可以由两个二次函数的部分图象组成，所以f(x)在a,+∞内为凹函数，在−∞,a内为凸函数． 18.解：(1)取DM的中点O，连结OA,OE，由已知得，▵EMD是边长为2的等边三角形，△ADM是以AD=AM= 10为腰的等腰三角形，则OE⊥DM,OA⊥DM,OA=3,OE= 3，故AO2+OE2=AE2，故OA⊥OE,OE∩DM=O,OE⊂平面CDEF,DM⊂平面CDEF，所以OA⊥平面CDEF，又OA⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面CDEF；(2)以O为坐标原点，分别以OE,OC,OA为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E 3,0,0,M0,1,0,B0,2,3，BE=( 3,−2,−3)，EM=− 3,1,0，显然平面BCM的一个法向量为n=1,0,0，设平面BEM的一个法向量为m=a,b,c，由m⋅EM=− 3a+b=0m⋅BE= 3a−2b−3c=0，取a= 3，得m= 3,3,−1，所以cosm,n=m⋅nm⋅n= 31× 3+9+1= 3913，故平面BCM与平面BEM所成角的余弦值 3913；。