第四章控制系统的根轨迹分析法课件.ppt

相角条件：ss在 s 左边的零、极点其相角均为0在 s 右边的零、极点其相角均为共轭复根相角为2在实轴上的 s 是否满足相角条件就看 s 右边的零、极点之和是否是奇数在实轴上的 s 是否满足相角条件就看 s 右边的零、极点之和是否是奇数在实轴上的 s 是否满足相角条件就看 s 右边的零、极点之和是否是奇数奇数相角条件：ss在 s 左边的零、极点其相角均1出射角公式：出射角公式：出射角公式：2出射角公式：出射角公式：出射角公式：3第四章控制系统的根轨迹分析法课件4第四章第四章控制系控制系统的根的根轨迹分析法迹分析法根根轨迹分析法是一种迹分析法是一种图解分析法，利用它求解解分析法，利用它求解高高阶系系统中某一参数中某一参数对系系统性能的影响将非常方便性能的影响将非常方便4.14.1根根轨迹的基本概念及分析方法迹的基本概念及分析方法4.24.2绘制根制根轨迹的基本迹的基本规则4.44.4系系统性能的根性能的根轨迹分析迹分析4.34.3参量根参量根轨迹迹广广义根根轨迹迹第四章 控制系统的根轨迹分析法 根轨迹分析法是一种54.14.1根根轨迹的基本概念及分析方法迹的基本概念及分析方法 系系统开开环中某一参数从中某一参数从00时，闭环系系统特征特征根在根在SS平面上的位置也随之平面上的位置也随之变化移化移动，一个根形成，一个根形成一条一条轨迹。

迹例例 求系求系统特征方程特征方程的根随开的根随开环增益增益K K的的变化在化在S S平面上的位平面上的位置置变化情况，并分析化情况，并分析K K对系系统的影响RY4.1 根轨迹的基本概念及分析方法 系统开6系系统的的闭环传递函数函数 闭环特征方程式特征方程式 特征方程的根特征方程的根 S2+2S+KC(s)R(s)=KS2+2S+K=0S1.2=-1 1-K 0 -1 2 Kr S1 S2 0 -2 1 -1 -1+j -1-j -1+j -1-j-1 S2j0-1-21 S1 K K 解解以以K为参数求根迹参数求根迹K K变化化时,闭环特征根特征根在在S S平面上的平面上的轨迹迹图形形当当K从从0连续变化化时,得到无数得到无数组特征方程的特征方程的根根,组成成图形形系统的闭环传递函数 闭环特征方程式 7系系统特征方程特征方程为求得两个极点：求得两个极点：ImRe0-2当当K=0K=0时：s s1 1=0=0，s s2 2=-2=-2当当K=1K=1时：s s1,21,2=-1=-1K K在在0101之之间连续变化化则 s s1 1 和和 s s2 2 也也连续变化，并且互相靠近化，并且互相靠近。

1ss s s当当K1时：ss的的实部部为常数，其虚部常数，其虚部随着随着KK是是连续变化的，化的，并且上下分开并且上下分开该根迹表达如下信息：根迹表达如下信息：无无论 K K 如何如何变化，化，闭环极点只可能出极点只可能出现在在SS平面的平面的左左半平面，系半平面，系统始始终稳定定在在0 0K K1 1区区间：ss1,21,2是是实数极点，所数极点，所以以阶跃响响应是是单调收收敛的由于由于s s1 1离虚离虚轴最近，最近，所以它主所以它主导系系统的响的响应，当当KKs s1 1远离虚离虚轴，系，系统响响应过程程变快在在1 1K K区区间：s s1,21,2是一是一对共共轭复根，复根，实部部为常数，决定了系常数，决定了系统的的调节时间；虚部随着虚部随着K K增大增大而而增大增大%；画出画出=0.707=0.707的等阻尼的等阻尼线，找出根迹与找出根迹与该线的交点，可的交点，可得相得相应的的 ss最佳最佳值系统特征方程为求得两个极点：ImRe0-2当K=0时：s1=8根根轨迹法的分析基本思路迹法的分析基本思路:方法方法:根据开根据开环零极点的分布零极点的分布绘制出系制出系统的根的根轨迹迹图；利用根利用根轨迹法来分析和迹法来分析和设计系系统.目的目的:解决高解决高阶系系统求解特征根比求解特征根比较困困难的的实现;寻找到一种方便、有效的描述系找到一种方便、有效的描述系统的根的根轨迹的方法。

迹的方法根轨迹法的分析基本思路:方法:目的:94.24.2绘制根制根轨迹的基本迹的基本规则一、根一、根轨迹的幅迹的幅值条件和相角条件条件和相角条件RY系系统的特征：的特征：1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1幅幅值条件条件:相角条件相角条件:在在S S平面上平面上满足特征方程的足特征方程的 s s 一定一定满足幅、相条件；足幅、相条件；同理同理满足幅、相条件的足幅、相条件的 s s一定一定满足特征方程足特征方程利用利用开开环求求解解闭环4.2 绘制根轨迹的基本规则一、根轨迹的幅值条件和相角条10设系系统的开的开环传递函数函数为开开环零零点点开环极点根轨迹增益将GH中最高阶相的系数化为1提出的常数闭环特征方程幅值条件幅值条件幅幅值条件条件相角条件相角条件相相角条件角条件相相角条件是根角条件是根轨迹的迹的充分充分必要条件；必要条件；幅幅值条件只有在求条件只有在求Kg参数参数时才使用才使用闭环极极点点这是什么？是什么？设系统的开环传递函数为开环零点开环极点根轨迹增益将GH中最118、开、开环极点与极点与闭环极点的关系极点的关系7、根、根轨迹与虚迹与虚轴的交点的交点 6、根、根轨迹的出射角和入射角迹的出射角和入射角 4、根、根轨迹的分离点和会合点迹的分离点和会合点5、根、根轨迹的迹的渐近近线3、实轴上的根上的根轨迹段迹段2、根、根轨迹的起点和迹的起点和终点点1、根、根轨迹的迹的对称性和分布性称性和分布性二、二、绘制根制根轨迹的基本迹的基本规则8、开环极点与闭环极点的关系7、根轨迹与虚轴的交点 6、根轨121、根、根轨迹的迹的对称性和分布性称性和分布性1）根）根轨迹迹对称于称于实轴 闭环特征方程特征方程实数根数根分布分布在在S 平面的平面的实轴上。

上复数根复数根则成成对出出现，实部相等，虚部大小相等符部相等，虚部大小相等符号相反根根轨迹迹必定必定对称于称于实轴j0S1 S2 S3 S4 S5 S6 2）n阶系系统有有n条根条根轨迹迹 Kr取某一数取某一数值时,n阶特特征方程有征方程有n个确定的根个确定的根Kr=0每一个根由始点每一个根由始点连续地向其地向其终点移点移动，形，形成一条根成一条根轨迹，迹，n个根形个根形成成n条根条根轨迹1、根轨迹的对称性和分布性1）根轨迹对称于实轴 闭环13起始于开起始于开环极点，极点，终止于开止于开环零点和无零点和无穷零点2、根、根轨迹的起点和迹的起点和终点点起点：起点：Kg=0 时闭环特征方程特征方程 S=pi闭环极点极点=开开环极点极点终点：点：Kg=时 S=zjm m个个闭环极点极点=开开环零零点点 S=(n-m)(n-m)个个闭环极点极点=无无穷零点零点起始于开环极点，终止于开环零点和无穷零点2、根轨迹的起点和14 p3=-2 p2=-1 例例 已知系已知系统的开的开环传递函数，函数，试确定确定 系系统的根的根轨迹迹图解：解：系系统的三条根的三条根轨迹迹起始于三个开起始于三个开环传递函函数的极点。

数的极点开开环零、极点：零、极点：p1=0 z1=-1+j z2=-1-js(s+1)(s+2)Kr(s2+2s+2)G(s)H(s)=两条根两条根轨迹迹终止于开止于开环传递函数的两个零点，函数的两个零点，另一条另一条趋于无于无穷远j1-1-1-20p1 p2 p3z1 z2 p3=-2 p2=-1 例 已知系统的开环传递函数153、实轴上的根上的根轨迹迹实轴上某区上某区间存在根存在根轨迹，迹，则该区区间右右边的开的开环零、极点数之和零、极点数之和必必为奇数ImRe3、实轴上的根轨迹 实轴上某区间存在根轨迹，则该区间16ImRe0-14、分离点与会合点、分离点与会合点两条两条或两条或两条以上的根以上的根轨迹在迹在S平面上平面上相遇相遇又立即又立即分开分开的点重重根根点点在在实轴上两个开上两个开环极点之极点之间如果是根如果是根轨迹，必有分迹，必有分离点；两个开离点；两个开环零点之零点之间是根是根轨迹，必有会合点迹，必有会合点分离点分离点求解求解特征方程特征方程 的的重根重根RY例例已知已知代入求KImRe0-14、分离点与会合点两条或两条以上的根轨迹在S平17例例 试确定系确定系统分离点。

分离点s(s+1)(s+2)KrG(s)H(s)=解：解：根根轨迹的分离点：迹的分离点：A(s)B(s)=A(s)B(s)(3S2+6S+2)=0s1=-0.43s2=-1.57s2没有位于根没有位于根轨迹上，舍去迹上，舍去600j0p1 p3p2-1-2例 试确定系统分离点s(s+1)(s+2)185、根、根轨迹的迹的渐近近线 与与实轴交点：交点：与与实轴交角：交角：当当nnmm时，有，有mm条根条根轨迹迹终止于开止于开环的的有限零点，而有限零点，而 n-mn-m条条根根轨迹将迹将沿沿着与着与实轴交点交点为a a、交角、交角为 的一的一组渐进线终止于无止于无穷远处（无无穷零点零点）5、根轨迹的渐近线 与实轴交点：与实轴交角：19ImRe0-1RY例 在在实轴上两开上两开环极点之极点之间是是根根轨迹，所以有分离点迹，所以有分离点系系统开开环为可得ImRe0-1RY例 在实轴上两开环极点之间20例例 已知系已知系统的开的开环传递函数，函数，试确定确定 系系统的根的根轨迹迹图解：解：s(s+1)(s+2)KrG(s)H(s)=1）开）开环零、极点：零、极点：2）实轴上的根上的根轨迹段：迹段：p1=0p2=-2p3=-3p1p2p3-83）根）根轨迹的迹的渐近近线：渐近近线与与实轴的交点的交点:渐近近线与与实轴的的夹角角:n-m=33=-1-2=-1 3(2k+1)+=+180O+60O=,4）系）系统的根的根轨迹迹 600j0p1 p3p2-1-2例 已知系统的开环传递函数，试确定 解：s(s+121例例 试确定系确定系统分离点。

分离点s(s+1)(s+2)KrG(s)H(s)=解：解：前例已求得根前例已求得根轨迹的迹的渐近近线和和实轴上的根上的根轨迹段迹段 根根轨迹的分离点：迹的分离点：A(s)B(s)=A(s)B(s)(3S2+6S+2)=0s1=-0.43s2=-1.57s2没有位于根没有位于根轨迹上，舍去迹上，舍去600j0p1 p3p2-1-2例 试确定系统分离点s(s+1)(s+2)22例例 已知系已知系统的开的开环传递函数，函数，试确定确定 系系统的根的根轨迹迹图解：解：，(s+1)(s+2)Kr(s+3)G(s)H(s)=1）开）开环零、极点零、极点 2）实轴上的根上的根轨迹段迹段 p1p2z1-8p2=-2p1=-1z1=-3 3）根）根轨迹的迹的渐近近线 有一条根有一条根轨迹迹趋于无于无穷远n-m=1渐近近线与与实轴的的夹角：角：1(2k+1)+=+180O=4）分离点和会合点）分离点和会合点KrB(s)+A(s)=0A(s)=S2+3S+2B(s)=S+3B(s)=1A(s)=2S+3整理得整理得 (S2+3S+2)=(2S+3)(S+3)S2+6S+27=0 解方程得解方程得 s1=-1.6s2=-4.4根根轨迹的分离点迹的分离点根根轨迹的会合点迹的会合点5).根根轨迹迹 j0p1 z1p2-1-2-3例 已知系统的开环传递函数，试确定 解：，(s+1236)根根轨迹与虚迹与虚轴的的交点交点交点交点 例例 已知系已知系统开开环 解解 已知与虚已知与虚轴交点交点处求与虚求与虚轴交点交点系系统特征方程特征方程为代入代入虚部虚部为零零实部部为零零解得：解得：也可以用也可以用劳斯表求交点斯表求交点6)根轨迹与虚轴的交点交点例已知系统开环解已知与虚轴247 7）根）根轨迹的迹的出射角出射角和和入射角入射角出射角公式：出射角公式：所有开所有开环有限有限零零点点到到该点矢量的相角点矢量的相角除起点外开除起点外开环极极点点到到该点矢量的相角点矢量的相角入射角公式：入射角公式：8 8）闭环特征方程特征方程根之和根之和与与根之根之积a a）(n-m)2(n-m)2时，根之和根之和与根与根轨迹增益迹增益 K Kgg无关无关，是，是个常数，即个常数，即b b）根之和不）根之和不变 K Kgg增大，一些根增大，一些根轨迹分支向迹分支向左左移移动，则一定会相一定会相应有另外一些根有另外一些根轨迹分支向迹分支向右右移移动。

闭环极点极点开开环极点极点7）根轨迹的出射角和入射角出射角公式：所有开环有限零点到该点25闭环极点与特征方程的系数关系极点与特征方程的系数关系（n-m2）=常数常数闭环极点与特征方程的系数关系（n-m2）=常数26 例例11已知系已知系统开开环试绘制制闭环系系统的概略根的概略根轨迹迹解解 已知开已知开环在在-1，0和和-，-2区区间有根有根轨迹实轴上两个开上两个开环极点之极点之间有根有根轨迹，必有分离点迹，必有分离点得得（不合理）（不合理）渐近近线虚虚轴交点交点将将 s=j 代入特征方程代入特征方程例1已知系统开环试绘制闭环系统的概略根轨迹解已知开环27例例2已知系已知系统的开的开环传递函数函数试绘制制闭环系系统的概略根的概略根轨迹迹解解 由开由开环传递函数知函数知将零、极点将零、极点标在在图上上实轴上上-3，0有根有根轨迹迹求分离点求分离点求求导试探法，得探法，得代入得代入得求求渐近近线n-m=4 有四条渐近线求与虚求与虚轴交点交点代入特征方程代入特征方程画出根画出根轨迹迹例2已知系统的开环传递函数试绘制闭环系统的概略根轨迹解28幅幅值条件条件相相角条件角条件模值方程与相角方程的应用模值方程与相角方程的应用所有开所有开环零零点到点到闭环 s 的距离的距离所有开所有开环极极点到点到闭环 s 的距离的距离所有开所有开环零零点指向点指向闭环 s 的相角的相角所有开所有开环极极点指向点指向闭环 s 的相角的相角幅值条件相角条件模值方程与相角方程的应用所有开环零点到闭环 29S1=1.5+j1.2553幅幅k*=0.2643.826相相39.91.82668.35.576147.91.82613.82621.826111.7160.3164.4k*=0.266180.3oS1=1.5+j1.2553幅k*=0.2643.826相304.3 参量根轨迹广义根轨迹 初根初根轨迹迹 Kg 以外，系以外，系统其它参数其它参数变化化时的根的根轨迹称迹称为参量根参量根轨迹迹（或广（或广义根根轨迹）。

迹）1.开开环零零点点变化的根化的根轨迹迹 设系系统开开环传递函数函数为没有附加开没有附加开环零点情况零点情况相当于相当于设置置设置置零点在零点在 2 左左边时根根轨迹与虚迹与虚轴有交点，在有交点，在右右边时，根，根轨迹与虚迹与虚轴没有交点没有交点设置置4.3 参量根轨迹广义根轨迹 初根轨迹31在在虚虚轴的的左左边配配置置适适当当的的零零点点在虚轴的左边配置适当的零点322.开开环极极点点变化的根化的根轨迹迹 设系系统开开环传递函数函数为没有配置极点没有配置极点配置极点配置极点配置极点配置极点配置极点配置极点2.开环极点变化的根轨迹 设系统开环传递函数为没有配置极点配33配配置置在在虚虚轴左左边的的极极点点要要远离离虚虚轴配置在虚轴左边的极点要远离虚轴34RYRYRY闭环传递函数分母一函数分母一样，所以，所以极点极点是是一一样的A系系统开开环具有零点，具有零点，闭环也也有有零点并且相同零点并且相同B系系统开开环具有零点，但具有零点，但闭环没没有零点AB但是不是都具有但是不是都具有闭环零点！零点！控制器控制器被控被控对象象测量装置量装置指令指令被控参数被控参数RYRYRY闭环传递函数分母一样，所以极点是一样的。

A系统开354.4 系统性能的根轨迹分析4.4 系统性能的根轨迹分析36练习画出概略根画出概略根轨迹迹（a）（b）（c）（d）练习画出概略根轨迹（a）（b）（c）（d）37作作业：4-3作业：4-338。