基于根轨迹法的超前滞后校正.doc

基于根轨迹法的超前-滞后校正超前校正的根轨迹设计法滞后环节的根轨迹设计方法超前滞后校正的根轨迹设计法1．1．1基本概念1．根轨迹根轨迹是指系统的增益K由零到正无穷大时的闭环特征方城的根在s平面上的变化的轨迹在系统的增益K由零变化到负无穷大时闭环特征方程的根的轨迹为补根轨迹系统闭环特征方程的根轨迹与补根轨迹称为全根轨迹通常情况下根轨迹时指增益K由零到正无穷大下的根的轨迹2．超前校正的根轨迹设计法 基于根轨迹的超前校正设计是通过串联超前校正环节，即增加开环极点和零点，对原来的根轨迹进行调整，得到所需的根轨迹通常用解析法获得超前校正环节设校正环节的传递函数为：sTZ＋1GC（s）＝KC一一一一――sTP＋1解析法的设计步骤如下：（1） 根据所需闭环系统稳态误差和瞬态特性，确定闭环极点s1,并设定校正环节的增益KC;（2） 根据闭环特征方程的幅值和相位角条件，应该满足如下条件：s1TZ+1 GC(s1)G(s1)=KC―――――MGE^-jӨG=1E^jπs1TP+1式中，Mg是开环系统G在s1的幅值，ӨG是开环系统G在s1的相位角3） 设s1表示为s1=MSE^-jӨS,则有1E^jπ MSE^-jӨsTz+1= ―――――― [MSE^-jӨSTP+1]KCMGE^-jӨG（4） 上述方程分解为实部和虚部两个方程，得到有两个未知数的两个方程，其解为sinӨS-KCMGsin(ӨG－ӨS) KCMGsinӨS+sin(ӨG＋ӨS)TZ=――――――――――― ；TP=―――――――――――― KCMGsinӨG MSsinӨG (5) 根据TZ, TP,KC得到超前校正环节的传递函数GC(s);(6) 检查闭环系统的其它性能指标是否满足要求，如果不满足，则改变KC,重新计算。

例如：已知燃油调节控制系统的开环传递函数为2GP(s)=――――――――s(1+0.25s)(1+0.1s)试设计超前校正环节，使其校正后系统静态速度误差系数小于KV=10，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.3和自然频率Wn=10.5rad/s 解析法的子函数程序代码如下:>>function Gc=ggjx(G,s1,kc)numG=G.num{1};denG=G.den{1};ngv=polyval(numG,s1);dgv=polyval(denG,s1);g=ngv/dgv;theta_G=angle(g);theta_s=angle(s1);MG=abs(g);Ms=abs(s1);Tz=(sin(theta_s)-kc*mgc*sin(theta_g-theta_s))/(kc*mgc*ms*sin(theta_g));Tp=-(kc*mgc*sin(theta_s)+sin(theta_g+theta_s))/(ms*sin(theta_g));Gc=tf([Tz 1],[Tp 1]);主程序代码如下:>> num=2; den=conv([1 0],conv([0.25 1],[0.1 1])); G=tf(num,den); zeta=0.3;wn=10.5;%建立二阶系统分子项和分母项[num,den]=ord2(wn,zeta);s=roots(den);s1=s(1);kc=5;Gc＝ggjx（G，s1,kc）%超前校正环节GGc＝G*Gc*kc；％原系统的闭环传递函数Gy_cl=feedback(G,1);Figure(1);Step(Gx_cl,’b’,3,5);Hold on;Step(Gx_cl,’r’,3,5);Figure(2);impulse(Gx_cl,’b’,3,5);Hold on;impulse(Gx_cl,’r’,3,5);超前校正环节：Transfer function:0.3055s+1----------------0.03429s+1原系统闭环传递函数:Transfer function:2----------------------------0.025s^3+0.35s^2+s+2校正厚的系统闭环传递函数：Transfer function: 3.055s+10-----------------------0.0008572s^4+0.037s^3+0.3843s^2+4.055s+10(校正前后闭环系统的单位阶跃响应曲线)由运行图可以看出，校正前系统的超调量为б=12。

1%，上升时间为Ts=106s，过渡过程时间Ts=206s，系统的稳定幅值为1；校正后系统的超调量为б=32%，上升时间Tr=0225s，过渡过程时间Ts=0792s，系统稳定幅值为1，由以上性能参数数据可知，经过超前校正后的系统，性能明显提高3．滞后环节的根轨迹设计方法通常基于根轨迹的滞后校正设计用于满足系统的稳定和动态性能要求，其几何法设计步骤如下：假定滞后校正环节的传递函数为（s+a）GC（s）=KC -------------（a+b）（1） 确定所需的闭环极点位置；（2） 绘制原开环系统的根轨迹图；（3） 确定在根轨迹或者附近的闭环极点所对应的原系统增益Kc；（4） 确定所选择的Kc是否满足校正后系统的静态误差要求；（5） 选择a/b的比值，使系统满足所需要的静态误差要求；（6） 改变校正环节的零极点位置，得到所需的根轨迹例如：已知工业锅炉控制系统的开环传递函数为4G(s)= ----------s(s+3)试设计滞后校正环节，要求阻尼比ζ=0.707，系统静态速度误差小于等于5%>>num=4;den=[1 3 0];>> g=tf(num,den)；zeta=0.707;>> wc=5;>> [r,k]=rlocus(g);>> za=zeta/sqrt(1-zeta^2);>> ri=r(1,find(imag(r(1,:))>0));>> ra=imag(ri)./real(ri);>> kc=spline(ra,k(find(imag(r(1,:))>0)),1/za); 立方插值>> syms x ng dg;>> ng=poly2sym(g.num{1});>> dg=poly2sym(g.den{1});>> ess=limit(ng*kc/dg*x); 求静态误差系数>> beta=round(100/sym2poly(ess)/wc);>> tz=0.1;>> tp=tz/beta;>> gc=tf([1 tz],[1 tp]) Transfer function: s + 0.1------------s + 0.007692比较校正前后系统的单位阶跃响应曲线>> n1=4;>> d1=[1 3 0];>> g1=tf(n1,d1)；n2=[1 0.1];>> d2=[1 0.007692];>> g2=tf(n2,d2)；>> gx=feedback(g1,1) Transfer function: 4-------------s^2 + 3 s + 4 >> gy=feedback(g2*g1*kc,1) Transfer function: 4.501 s + 0.4501----------------------------------s^3 + 3.008 s^2 + 4.524 s + 0.4501 figure(1)>> step(gx,'r',25)>> hold on;>> step(gy,'b',25)(校正前后闭环系统的单位阶跃响应曲线)由运行图可知，校正前系统的超调量为б=2。

83%，上升时间tr=183s，过渡过程时间为ts=157s，系统稳定幅值为1校正后系统的超调量为б=103%，上升时间tr=141s，过渡过程时间为ts=372s，系统稳定幅值为1，由以上性能参数数据可知，经过滞后校正后系统的性能明显提高4. 超前滞后校正的根轨迹设计法超前校正和滞后校正各有优点和缺点，当需要同时改善系统的动态性能和静态性能，即大幅度增大增益和带宽时，常采用超前滞后校正环节设超前滞后校正环节传递函数为STZ+1 αTS+1GC（s）= KC x ------------ x ------------STP+1 TS+1超前滞后校正环节设计步骤如下：（1） 确定闭环极点S1；（2） 计算超前相位角Ф m；（3） 确定校正环节的增益KC；（4） 对于滞后校正部分，可以选择较大T1，从而使滞后校正部分的零极点靠近原点；（5） 确定T1和β，并且得到T2；（6） 检查校正环节串联之后组成的闭环系统是否满足性能需要例如： 已知水输送自动控制系统的开环传递函数为:4GP（s）=----------------s*（s+0.5），试设计超前滞后校正环节，要求使其校正后系统静态速度误差系数小于5，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.5和自然频率Wn=5rad/s，相位裕度为50度。

根据ζ=0.5 Wn=5rad/s由设计要求知，取校正环节增益KC=1先设计超前校正环节>> num=4;>> den=[1 0.5 0];>> g=tf(num,den)；>> zeta=0.5;>> wn=5;>> kc=1;>> dpm=50+5;>> ng=g.num{1};>> dg=g.den{1};>> [n1,d1]=ord2(wn,zeta); %建立二阶系统分子项和分母项>> s=roots(d1); >> s1=s(1);>> ngv=polyval(ng,s1); >> dgv=polyval(dg,s1); >> G=ngv/dgv;>> theta_g=angle(G); >> theta_s=angle(s1); >> MG=abs(G); >> MS=abs(s1); >> Tz=(sin(theta_s)-kc*MG*sin(theta_g-theta_s))/(kc*MG*MS*sin(theta_g));.>> Tp=-(kc*MG*sin(theta_s)+sin(theta_g+theta_s))/(MS*sin(theta_g));>> gc=tf([Tz 1],[Tp 1]) Transfer function:1.242 s + 1------------0.1867 s + 1再设计滞后校正环节>> num=4;>> den=[1 0.5 0];>> g=tf(num,den)；[r,k]=rlocus(g);>> za=zeta/sqrt(1-zeta^2);>> ri=r(1,find(imag(r(1,:)。