九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 专题训练 不规则图形面积的求法、平面图形的滚动问题 浙教版.doc

九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 专题训练 不规则图形面积的求法、平面图形的滚动问题 浙教版►　类型之一　求不规则图形的面积方法一　割补法1．如图7－ZT－1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC＝4 ，则图中阴影部分的面积为(　　)A．π＋1 B．π＋2 C．2π＋2 D．4π＋1图7－ZT－1　　图7－ZT－22．xx·金华模拟如图7－ZT－2，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD为半径画弧交线段BC于点E，连结DE，则阴影部分的面积为(　　)A.－B.－C．π－D．π－3．如图7－ZT－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1.将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动地滚动，点A再次落在x轴上时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为________．图7－ZT－3　　图7－ZT－44．xx·营口如图7－ZT－4，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为________．方法二　覆盖法图7－ZT－55．如图7－ZT－5，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E.以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D.若OA＝2，则阴影部分的面积为________．6．如图7－ZT－6，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与相交于点D，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点E，若OA＝4，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)图7－ZT－6　　图7－ZT－7方法三　用旋转法求图形的面积7．如图7－ZT－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为(　　)A.π B.π C.π D.π8．如图7－ZT－8，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A′的位置，则图中阴影部分的面积为(　　)A．π B．2π C. D．4π图7－ZT－8　　图7－ZT－99．如图7－ZT－9，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的区域(阴影部分)的面积为(　　)A. B．(2－)πC.π D．π10．如图7－ZT－10，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB延长线上的点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连结EF，CG.(1)求证：EF∥CG；(2)求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．图7－ZT－10►　类型之二　平面图形的滚动问题图7－ZT－1111．如图7－ZT－11，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转xx次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为(　　)A．xxπ B．2034πC．3024π D．3026π12．如图7－ZT－12，水平地面上有一面积为30π cm2的扇形AOB，半径OA＝6 cm，且OA与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则点O移动的距离为 ________．图7－ZT－12　图7－ZT－1313．xx·宁波模拟如图7－ZT－13，在扇形AOB中，OA＝10 cm，∠AOB＝36°.若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形A′O′B，其中点A在O′B上，则点O的运动路径长为______cm.(结果保留π)14．如图7－ZT－14，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按图中所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是________．图7－ZT－1415．如图7－ZT－15，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图①的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图②的位置．若正六边形的边长为2 cm，则正六边形的中心O运动的路程为________cm.图7－ZT－1516．如图7－ZT－16，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A′B′C′的位置，则点B运动的最短路径长为________．图7－ZT－1617．如图7－ZT－17，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A′B′C′，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标；(2)求点B旋转到点B′的路径长(结果保留π)．图7－ZT－17详解详析1．B　[解析] 考查圆中阴影部分不规则图形面积的求解．连结OD，采用分割法，把阴影部分分成两部分，即S阴影＝S△BOD＋S圆．由AB＝AC，∠ABC＝45°，BC＝4 ，得△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理求得⊙O的直径为4，则OA＝OB＝OD＝2，S阴影＝S△BOD＋S圆＝×2×2＋π×22＝π＋2.2．A　[解析] 如图，连结AE，∵在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，∴AE＝AD＝BC＝2.在Rt△ABE中，∵BE＝＝＝，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°，∴∠DAE＝45°，∴S阴影＝S扇形DAE－S△DAE＝－×2×＝－.故选A.3．π＋　[解析] 如图，S＝S扇形ABA′＋S△BC′A′＋S扇形A′C′A″＝π×()2＋＋π＝π＋.4.π－2 　[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴CE＝BC＝4，∴CE＝2CD，∴∠DEC＝30°，∴∠DCE＝60°，由勾股定理，得DE＝2 ，∴阴影部分的面积＝S扇形CEB′－S△CDE＝－×2×2 ＝π－2 .5.＋　[解析] 如图，连结OE，AE.由CE⊥OA，C为OA的中点可得△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，CE＝，∴S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD－(S扇形AOE－S△COE)＝－－＝π－π＋＝＋.6.π＋2 　[解析] 如图，连结OD，AD, ∵CD⊥OA，∴在Rt△DOC中，OC＝OA＝OD，∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°，∴△ADO为等边三角形，∴S扇形AOD＝＝π，∴S阴影＝S扇形AOB－S扇形COE－(S扇形AOD－S△COD)＝－－＝π－π－π＋2 ＝π＋2 .7．D　[解析] 由勾股定理，得AB＝＝5.由旋转的性质可知△ABC≌△ADE，且∠DAB＝30°.∴S阴影＝S△ABC＋S扇形ADB－S△ADE＝S扇形ADB＝＝π.故选D.8．B　[解析]S阴影＝S扇形ABA′＋S半圆－S半圆＝S扇形ABA′＝＝2π.9．D　[解析]∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∴BC2＋AC2＝AB2，即AB2－AC2＝BC2.∵整个图形的面积＝S△ABC＋S扇形BAD＝S阴影＋S扇形CAE＋S△AED，又S△ABC＝S△AED，∴S阴影＝S扇形BAD－S扇形CAE＝＝＝π.10．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°.∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△BFA，∴△BFA≌△BEC，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG.(2)∵△BFA≌△BEC，∴BF＝BE＝AB＝1，∴AF＝＝.在△FEC和△CGF中，∵EC＝FG，∠ECF＝∠GFC，FC＝CF，∴△FEC≌△CGF，∴S△FEC＝S△CGF.∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG＝＋×2×1＋×(1＋2)×1－＝－.11．D　[解析] 转动第一次点A经过的路线长是＝2π，转动第二次点A经过的路线长是＝π，转动第三次点A经过的路线长是＝π，转动第四次点A经过的路线长是0，转动第五次点A经过的路线长是2π.以此类推，每四次转动为一个循环，故顶点A转动四次经过的路线长为2π＋π＋π＝6π.∵xx÷4＝504……1，∴这样连续旋转xx次，顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长是6π×504＋2π＝3026π.故选D.12．10π cm　[解析] 观察图形可知点O移动的距离即为扇形滚动的距离，而扇形滚动的距离为优弧AB的弧长，因为S扇形＝lR，所以l＝10π cm.13．4π　[解析] 根据题意，知OA＝OB.又∠AOB＝36°，∴∠OBA＝72°，∴点O的运动路径长＝＝4π(cm)．14.　[解析] 如图，连结BD，B′D，作弧，.∵AB＝5，AD＝12，∴BD＝＝13，∴＝＝.又∵＝＝6π，∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是＋6π＝.15．4π　[解析] 根据题意得：每次滚动正六边形，其中心就以正六边形的半径为半径旋转60°，∵正六边形的边长为2 cm，∴中心O运动的路程为＝.∵从图①运动到图②共重复进行了六次上述的移动，∴正六边形的中心O运动的路程为6×＝4π(cm)．故答案为4π.16.π　[解析]①先确定旋转中心．作线段CC′的垂直平分线；连结AA′，作线段AA′的垂直平分线与线段CC′的垂直平分线交于点O，点O恰好在格点上；②确定最小旋转角．最小旋转角为90°；③确定旋转半径．连结OB，由勾股定理得OB＝＝，所以点B运动的最短路径长为＝π.17．解：(1)△A′B′C′如图所示，A′(4，0)，B′(3，3)，C′(1，3)．(2)∵半径OB＝＝3 ，∴l＝＝3 π.即点B旋转到点B′的路径长为3 π.。