专题三分类讨论的思想.pdf

1 专题三分类讨论的思想一 、考点回顾分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的全域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。

5. 分类讨论思想的类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；2 ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的二、经典例题剖析1. (2006 辽宁 )已知函数11( )(sincos )sincos22f xxxxx,则( )fx的值域是（）(A)1,1(B) 2,12(C) 21,2(D) 21,2解析：cos (sincos )11( )(sincos )sincossin (sincos )22xxxf xxxxxxxxmin{sin,cos }xx答案： C 点评：本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了分类讨论思想和估算能力2.（ 2007 · 广东）已知a是实数，函数2( )223f xaxxa，如果函数( )yf x在区间11 ，上有零点，求a的取值范围．解析：由函数( )f x的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就0a和0a两类情况进行讨论答案：函数( )yf x在区间 [-1，1]上有零点，即方程2( )223f xaxxa =0 在[-1，1]上有解，a=0时 ， 不 符 合 题 意 ， 所 以a ≠ 0, 方 程f(x)=0在 [-1 ， 1] 上 有 解 ( 1)(1)0ff或( 1)0(1)048 (3)01[ 1.1]afafaaa15a或372a或5a372a或 a≥1. 所以实数a 的取值范围是372a或 a≥ 1. 点评：本题主要考察二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础知识，考察了数形结合、分类讨论的思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力。

3. （2007 ·海南、宁夏）设函数2( )ln()f xxax．（I）若当1x时，( )f x取得极值，求a的值，并讨论( )f x的单调性；3 （II）若( )f x存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2．解析：函数的极值、单调性是函数的重要性质极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题答案：（Ⅰ）1( )2fxxxa，依题意有( 1)0f，故32a．从而2231(21)(1)( )3322xxxxfx xx．( )f x的定义域为32，．当312x时，( )0fx；当112x时，( )0fx；当12x时，( )0fx．从而，( )f x分别在区间31122，，，单调增加，在区间112，单调减少．（Ⅱ）( )f x的定义域为()a，，2221( )xaxfxxa．方程22210xax的判别式248a．（ⅰ）若0，即22a，在( )f x的定义域内( )0fx，故( )fx无极值．（ⅱ）若0，则2a或2a．若2a，(2)x，，2( 21)( )2xfxx．当22x时，( )0fx，当22222x，，时，( )0fx，所以( )f x无极值．若2a，(2)x，，2( 21)( )0 2xfx x，( )f x也无极值．（ⅲ）若0，即2a或2a，则22210xax有两个不同的实根2122aax，2222aax．当2a时，12xaxa，，从而( )fx在( )f x的定义域内没有零点，故( )f x无极值．4 当2a时，1xa，2xa，( )fx在( )f x的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知( )f x在12xxxx，取得极值．综上，( )f x存在极值时，a的取值范围为(2)，．( )f x的极值之和为：222 1211221e()()ln()ln()ln11ln 2ln22f xf xxaxxaxa点评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力. 求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论倒导数的符号。

一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程( )0fx在( )f x的定义域内有解；二是在方程( )0fx的根的两边导数( )fx的符号要相反因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论4.（ 2007 ·天津）在数列na中，1 112(2)2 ()nn nnaaanN，， 其中 λ ＞0．求数列na的前n项和nS解析：数列的通项公式和前n项和的求解，是高考中考查的一个重点内容，对于它们的解决要掌握一些方法答案：由1 1(2)2 ()nn nnaanN，0，可得11 1221nnnn nnaa，所以2nn na为等差数列，其公差为1，首项为0，故21nnnan，所以数列na的通项公式为(1)2nn nan．设234123(2)(1)nn nTnn，①345123(2)(1)nn nTnn②当1时，①式减去②式，得21 2311(1)(1)(1)1n nnn nTnn，5 21121222(1)(1)(1)1(1)nnnnnnnnT．这时数列na的前n项和212 1 2(1)22(1)nn n nnnS．当1时，(1)2nn nT．这时数列na的前n项和1(1)222n nn nS．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和。

对于等比数列的前n项和公式，由于公比的取值不同而需要分类讨论5. （2007 ·全国卷Ⅱ）设等比数列{}na的公比1q，前n项和为nS．已知34225aSS，，求{}na的通项公式．解析：本题是考查数列的基本题，“知三求二”答案：由题设知1 1(1)01nnaqaSq，，则2 12 14 12(1)5(1)11a qaq aq，．②由②得4215(1)，22(4)(1)0，(2)(2)(1)(1)0，因为1q，解得1q或2q．当1q时，代入①得12a，通项公式12( 1)n na；当2q时，代入①得112a，通项公式11( 2)2n na．点评：本题在运算过程中，由于参数值的不同导致结果的变化，因而需要分类讨论6.（2007 ·上海） 直角坐标系xOy中， ij，分别是与xy，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若jkiACjiAB3,2，则k的可能值个数是（）Ａ． 1 Ｂ． 2 Ｃ． 3 Ｄ． 4 解析： 由AB（2，1），AC（3，k），得BC（1，k-1 ），由于ABC为RT，则A，B，C都可能为直角，由向量数量积为0，分别有210k或3(1)0k k或60k，解得1k6 或6k。

答案：B点评：本题主要考查向量运算及向量垂直的判定，也考查了学生分类讨论思想能力，引起分类的原因是直角三角形直角的不确定，但有的学生也可能想到位置有三种情况，故主观认为有三个值，这也是值得思考的7. 将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（）Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．118解析： 连续掷三次骰子出现点数的方法总数为36种，其中公差为0 的等差数列有6 个，公差为 1 或-1的等差数列有248个， 公差为 2 或-2 的等差数列有224， 所以满足条件中的概率为36841612答案：B点评：本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数8.（ 2007 ·陕西） 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3 ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆 C 交于 AB，两点，坐标原点O 到直线 l 的距离为32，求AOB△面积的最大值．解析：圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系答案：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，，1b，所求椭圆方程为2 213xy．（Ⅱ）设11()A xy，，22()B xy，．（1）当ABx⊥轴时，3AB．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm．由已知 23 21mk，得223(1)4mk．把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，7 122631kmxxk，21223(1)31mx xk．222 21(1)()ABkxx222 22223612(1)(1)(31)31k mmkkk22222222212(1)(31)3(1)(91) (31)(31)kkmkk kk242 2 212121233(0)34196123696kkkkkk≤．当且仅当2 219kk，即33k时等号成立．当0k时，3AB，综上所述max2AB．当AB最大时，AOB△面积取最大值max133222SAB．点评：本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系。

对于直线方程，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因三 方法总结与2008 年高考预测（一）方法总结1.分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，它已成为高考考查学生知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识的考查；其二，解分类讨论问题要有一定的分析能力、一定的分类技巧，有利于学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等代数都紧密相关2.解分类讨论问题的实质：将整体化为局部，各个击破，到达解决问题的方法3.分类讨论要注意的几点：⑴根据问题实际，分类时做到不重复、不遗漏；⑵熟练地掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，上解好分类讨论问题的前提条件；⑶不断地总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；8 ⑷要注意简化和避免分类讨论，优化解题过程二） 2008 年高考预测分析历届高考试题，考查分类讨论的思想问题出现的频率高，其考查的知识点也呈现出一些特点，根据这些问题，在2008 年高考中，以下内容值得注意：1.以函数（特别是二次函数）为载体，考查函数性质、图像、方程的根、不等式、数列、解析几何的有关分类讨论问题；2.几何图形的位置变化，引起解决问题需要分类讨论。

这几年在解析几何中考查较多，要注意对立体几何问题的考查；3.导数是为解决有。