2024年高考数学二轮复习高频考点3-2解三角形（专题分层练）解析版.docx

专题验收评价专题3-2 解三角形内容概览A·常考题不丢分一．正弦定理（共4小题）二．余弦定理（共3小题）三．三角形中的几何计算（共2小题）四．解三角形（共3小题）B·拓展培优拿高分（压轴题）（8题）C·挑战真题争满分（7题）一．正弦定理（共4小题）1．（2023•黄浦区模拟）在中，若，则　　．【分析】利用正弦定理结合已知可求得，再利用二倍角的余弦公式即可得解．【解答】解：由正弦定理得，即，所以，所以，因为，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．2．（2023•普陀区校级模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．（1）求；（2）求．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；（2）由已知结合同角基本关系及二倍角公式可求，，然后利用两角和的正弦公式可求．【解答】解：（1）因为，，，由正弦定理得，化简得，即，（2）由且是锐角，所以，，又是锐角，所以，所以，，所以．【点评】本题主要考查正弦定理，和差角公式，同角基本关系在求解三角形中的应用，属于中档题．3．（2023•青浦区校级模拟）在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则　　．【分析】已知利用正弦定理化简，代入第一个等式用表示出，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的与代入求出的值，即可确定出的度数．【解答】解：将利用正弦定理化简得：，代入得，即，由余弦定理得：，为三角形的内角，．故答案为：．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．4．（2023•闵行区校级二模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）是线段上的点，若，，求的面积．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围，可求的值．（2）设，，由题意可得，，，，在中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，可求，，利用二倍角的正弦函数公式可求，进而根据三角形的面积公式可求的值．【解答】解：（1）由正弦定理可得，则有，化简可得，可得，因为，所以．（2）设，，由题意可得，，，，在中，，则，所以，可得，又因为，可得，，则，所以．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．二．余弦定理（共3小题）5．（2023•普陀区校级模拟）在中，已知，则最大角的值是　　．【分析】利用正弦定理，化简已知的等式，得到的比值，进而设出，及，得到为最大角，利用余弦定理表示出，把设出的，及代入求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数．【解答】解：由，根据正弦定理得：，设，，，，可得为最大边，设所对的角，即最大角为，根据余弦定理得：，又，，则最大角的值是．故答案为：【点评】此题考查了正弦、余弦定理，比例的性质以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，同时注意比例性质的运用．6．（2023•奉贤区二模）的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则等于　　．【分析】先由余弦定理求得，代入题设三角形面积的表达式，进而利用三角形面积公式建立等式求得和的关系求得．【解答】解：由余弦定理可知故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．解题的过程中主要是利用了余弦定理的变形公式，把边的问题转化为角的问题．7．（2023•黄浦区校级模拟）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，求（B）的取值范围．【分析】（Ⅰ）由二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简，再由正弦函数的单调性可得所求区间；（Ⅱ）由三角形的余弦定理求得，可得的范围，再由正弦函数的图象和性质，可得所求取值范围．【解答】解：（Ⅰ），令，则，所以，单调减区间是．（Ⅱ），由得：，由余弦定理可得，于是三角形的内角，在中，得，于是，则，所以，则（B）的取值范围是，．【点评】本题考查三角形的余弦定理和三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于中档题．三．三角形中的几何计算（共2小题）8．（2023•黄浦区校级三模）在中，，，边中线．（1）求的值；（2）求的面积．【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得出的值；（2）由余弦定理得出，最后由面积公式得出的面积．【解答】解：（1），由正弦定理可得，，又，，又，；（2），，为等腰三角形，且，在中，由余弦定理可得，，解得，的面积为．【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，方程思想，属中档题．9．（2023•嘉定区校级三模）在中，内角，，的对边分别为，，，．（1）求角；（2）若是边上的点，且，，求的值．【分析】（1）根据题意，利用正弦定理得，再根据三角恒等变换化简求解即可．（2）根据题意，在中利用正弦定理求得，在中利用余弦定理求得，由此列方程求出的值．【解答】解：（1）中，，所以，由正弦定理得，，因为，所以；又因为，所以，所以，即，又因为，所以．（2）因为是边上的点，且，，所以，，，，在中，由正弦定理得，，所以，在中，由余弦定理得，，所以，所以，解得，又因为，所以．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．四．解三角形（共3小题）10．（2023•浦东新区校级三模）已知向量，．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求，的取值范围．【分析】（1）由可得，从而可求，而（2）由正弦定理得，可求代入可得，结合已知可求函数的值域【解答】解：（1）（2分）（6分）（2）由正弦定理得，，所以（9分）所以（12分）【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示，利用的代换，求解含有，的齐次式，向量的数量积的坐标表示，三角函数在闭区间上的值域的求解．11．（2023•青浦区二模）如图所示，要在两山顶、间建一索道，需测量两山顶、间的距离．已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点为观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则等于 　　米．【分析】利用已知可得，，再利用余弦定理得，可求．【解答】解：在中，，，，在中，，，，在中，，由余弦定理得，．故答案为：．【点评】本题考查伤余弦定理的应用，属中档题．12．（2023•宝山区校级模拟）如图，一智能扫地机器人在处发现位于它正西方向的处和处和北偏东方向上的处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到的距离比到的距离少，于是选择沿路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为，忽略机器人吸入垃圾及在处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务；（1）求、两处垃圾之间的距离；（精确到（2）求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角的大小；（用反三角函数表示）【分析】（1）设，则，，，利用余弦定理列方程解出；（2）利用（1）的结论得出三角形的三边长，使用余弦定理求出，得到的大小．【解答】解；（1）设，则，，由题意得，在中，由余弦定理得：．解得．．（2）由（1）知，，．．．【点评】本题考查了余弦定理，解三角形的实际应用，属于基础题．一．选择题（共1小题）1．（2022•上海自主招生）中，，　　A． B． C． D．【分析】运用三角函数积化和差公式，得到角为等差数列的余弦和，即可求解．【解答】解：中，，，，又，，，，，，上述各式相加得，，即有，故选：．【点评】本题考查了三角变换求值，对角为等差数列的余弦和一般乘以角的正弦累加即可，是中档题．二．填空题（共4小题）2．（2020•上海自主招生）在中，，，，则边上中线长度为　　．【分析】利用余弦定理求出的值，再利用平面向量的线性表示，即可求出中线的长度．【解答】解：中，，，，如图所示；由余弦定理得；设是边上的中线，则，所以，解得，所以边上的中线长度为．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是基础题．3．（2020•上海自主招生）已知、、、四点共圆，且，，，，则的长度为　　．【分析】连接，，由圆内接四边形的性质可得，，在和中运用余弦定理，结合诱导公式求得，，同理可得，，再由两角和的正弦公式求得，在中运用余弦定理可得所求；另解：由四点共圆的性质和三角形的相似的性质，解方程可得所求值．【解答】解：连接，，由，，，四点共圆，可得，，由，，且，可得，则，化为，解得，即，则，又，，且，可得，则，化为，解得，即，则，则，在中，由，可得，解得．另解：由，，，四点共圆，可得，，则，即有，设，，可得，即有，即，，即有，解得，即．故答案为：．【点评】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理的运用，以及圆内接四边形的性质，考查化简运算能力，属于中档题．4．（2023•金山区二模）已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 　　．【分析】画出图形，结合已知条件找出，的几何意义，判断的位置，利用向量的模的几何意义，转化求解不等式的最小值即可．【解答】解：如图设，，，，，点在以为圆心，半径为的圆上，点在以为圆心，半径为1的圆上，，所以在射线上，所以，作的关于射线的对称点，则，且，所以，（当且仅当、、共线时取等号），的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查向量的模的几何意义的应用，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力，是难题．5．（2023•松江区校级模拟）在中，角，，所对应的边分别为，，，且，，为上一点，，则面积最大时，　　．【分析】由，结合三角形的正弦定理和三角函数的和差公式，可得，再由三角形的海伦面积公式，化简整理，结合二次函数的最值求法，可得三角形的面积取得最大值时的值，再由余弦定理计算可得所求值．【解答】解：，，，由正弦定理可得，，，由，，，，由三角形的海伦面积公式可得，当，即时，，的面积取得最大值，为上一点，，，由余弦定理可得，解得．故答案为：．【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查二次函数的最值求法，化简运算能力，属于难题．三．解答题（共3小题）6．（2021•上海自主招生）命题：“的内心与外心重合”是命题：“是正三角形”的什么条件？【分析】根据等边三角形的性质可知，一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是等边三角形，即可求解．【解答】解：根据内心和外心的概念，三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边的垂直平分线的交点，再根据等边三角形中三线合一性质，所以一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是正三角形，反之亦成立，所以是的充要条件．【点评】本题考查内心和外心的概念，考查充分、必要条件的判断，考查数学运算及推理能力，属于基础题．7．（2021•上海自主招生）是的角平分线，，，，求的长．【分析】由题意利用角平分线的性质可得，解得，的值，由，利用余弦定理可得，代入相关数。