对称性在积分计算中的应用.docx

承诺保证书1 对称性在定积分中的应用…………………………………………… 11.1 对称性在定积分应用中的重要结论 ……………………………………… 11.2 对称性在定积分中的应用举例 …………………………………………… 32 对称性在重积分中的应用…………………………………………… 52.1 对称性在重积分应用中的重要结论 ……………………………………… 52.2 对称性在重积分中的应用举 ……………………………………………… 83 对称性积分中的应用 ………………………………………… 103.1 对称性积分应用中的重要结论……………………………………… 103.2 对称性积分中的应用举例…………………………………………… 124 对称性在面积分中的应用 ………………………………………… 134.1 对称性在面积分应用中的重要结论……………………………………… 134.2 对称性在面积分中的应用举例…………………………………………… 145 利用对称性构造积分 ……………………………………………… 165.1 对称性在积分应用中的其他重要结论…………………………………… 165.2 利用对称性构造积分的应用举例………………………………………… 16 参考文献…………………………………………………………………… 19 英文摘要…………………………………………………………………… 20对称性在积分计算中的应用摘要：本文归纳了对称性在积分计算中的一些重要结论，利用这些结论，使较复杂的计 算变得简单，并结合实例说明这些结论的应用.关键词：奇偶函数 积分 对称性对称性是指某一事物对象的两个部分的对等性 .特别地 ,对于一元函数y二f(x)xg D (其中D为关于原点对称的数集，即当xeD时，有-xeD ),当 f (-x)二-f (x)时，称f (x)为奇函数；当f (-x)= f (x)时，称f (x)为偶函数•将上述 定义进行推广：对于二元函数z二f (x, y), (x, y)g D (其中D为关于原点对称的数 集，即当(x, y)g D时，有(- x,-y)eD)， 当 f (- x,-y )=-f (x, y)时，称 f (x, y)为奇 函数;当f (-x,-y)二f (x, y)时，称f (x, y)为偶函数•奇偶函数的对称性(即本文所 应用的)是对称性中的特例•它在积分的计算中很常见•如果能利用对称性就可以 化简很多复杂的积分计算问题，有些题甚至可以直接得出结果•因此掌握用对称 性计算积分的方法是大有益处的•本文讨论了对称性在定积分、重积分、面积分 及线积分计算中的应用.(以下都在积分存在的条件下予以讨论，有关函数均满 足通常条件)1 对称性在定积分中的应用1・1对称性在定积分应用中的重要结论在定积分的计算中经常用到如下的对称性定理：引理 设函数f (x)在[a - b, a + b]上连续，则有+bf (x )dx = Jb [ f (a + x)+ f (a - x )]dx (1)a -b 0证令x = a +1，有Ja+b f (x)dx = Jb f (a +1 At = J0 f (a +1)dt + f bf (a +1)dt (2)a-b -b - b 0令t = -v，则J0 f (a +1)dt = -Jbf (a- v)dv = Jbf (a - v)dv (3)-b 0 0将(3)式代入(2)式，并将积分变量统一成x,则Ja+b f (x)dx = Jb [ f (a + x)+ f (a - x)] dxa-b 0特别地，令 a = 0 ，就得公式Jb f (x)dx = Jb [ f (x)+ f (一x) dx-b 0由函数奇偶性的定义及上式，易得定理1 设函数f (x)在[-a, a ]连续，那么1) 若f (x)是偶函数，则J a f (x)dx = 2J a f (x)dx- a 02) 若f (x)是奇函数，则Ja f (x)dx=0-a 我们也可以把定理1推广到更一般的情况.定理2设函数f (x)连续，1) 若y = f (x)的图形关于直线x = a对称，即f (a + x)= f (a-x)，则对一切 b > 0有Ja+b f (x)dx=2Ja+b f (x)dxa -b a2) 若y = f (x)的图形关于点(a,0)对称，即f (a + x)=-f (a-x)，则对一切b > 0，有J a+b f (x)dx =0a-b证1)由(1)式及已知条件f (a + x)= f (a-x)，有Ja+b f (x)dx = 2『b f (a + x)dx = 2『a+b f (x')dxa -b 0 a2)由(1)式及已知条件f (a + x) = -f (a-x)，有Ja+b f (x)dx = Jb 0dx = 0a -b 0此结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大帮助.1.2 对称性在定积分中的应用举例例1 求 I = P2 x6 + 2x3 +1 cos xdx-云 x 2 + 12解 虽然被积函数非奇即偶，但可以把它分成两部分兰空cosx和cosxx3 + 1 前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，可用定理 1 的结论简化其计算.I=f 2 cosxdx—兀2[-x6 + x3 丄2 cos xdx +庆 x3 + 12 j 2 cos xdx = 2而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间［-a,a］上求解.这样的例子很多,应用定积分的性质进行拆项后,达到简化计算的目的.例2设P(x)为任意不超过三次的多项式，证明在区间［m,n］上P(x)的平均值G (-1)+ 4G (0)+ G (1)= [G (-1)+ G (1)] + 4G (0)2m + 4m + 2m1332m + 6m + G + G p13P (m )+ 4 PI 字]+P (n )证(i)先证[m,n]=l1,-l]时的特殊情况，取G(t)= m t3+mt2 +m t+m0 1 2 3G (t)在11,-1］上的平均值为G = —-—fnG(t= f1 (m 13 + mt2 + m t + mn - m m 2 - 1 0 1 2 3=1 i解因为sin x及 都关于x 对称, (m 13 + m t)dt + i1 (m 12 + m )7t2 — 1 0 1+ cos2 x 2 0 1 31=—m + m3 1 3而G (—1)+ 4G (0)+ G (1) =[G (—1)+ G (1)] + 4G (o )= 2m + 4 m + 2 m = 2m + 6 m 1331所以G = 6 [G (—1)+ 4G (0 )+ G (1)](ii)再考察P(x)在任意区间［m,n］上的平均值P = inp (x )dxn—m mm+n n—mx = + t，2 2这时=G (t),于是-—Jnp (x )dx二 211 G (t Jtit 二 6 [g (—1)+ 4G (o)+ G (1)]P (m )+ 4 P+ P (n )且' 兀'x ——关于f-,0 ]I 2 J12丿点中心例 3 求 I = L xsin—0 1+ cos2 x对称.所以sin x1 + C0S2x关于点,o'中心对称’又区间［。

訂关于x = |对称,故定理2有1 + COS2 xSin xdx = 0于是I =卜0 1 + COS2 xx sin x , k (*_ sin x , 兀 2dx = dx =-2 0 1 + cos2 x 4利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使 上述复杂积分简单化,易得出结论.2 对称性在重积分中的应用2.1对称性在重积分应用中的重要结论定理3 ⑴若f (x, y)为关于x的偶函数，即对v(x, y)e S ( S是关于y轴对称的区域),有则其中f (- x, y )= f (x, y )，J! f (x, y )dxdy = 2JJ f (x, y )dxdyS S1S] = «x, y ) l(x, y )g S, x > o}⑵若f (x,y)为关于x的奇函数，即对V(x,y)g S ( S是关于原点对称的区域)有f (- x, y ) = - f (x, y )JJ f (x, y )dxdy = 0证记S = «x, y )l(x, y )g S, x < o}1JJ f (x, y )dxdy = JJ f (x, y )dxdy + JJ f (x, y)dxdy (4)S S1 S 2x = -u ， y = v ，j = Q(x,y )= -1 0 =Q(u, v) 0 1可得其中JJ f (x, y \xdy = JJ f (-u, v )| J | dudv = JJ f (-u, v \udv (5 )S2S2 S2S = «u,v)l(-u,v)gS }= S,2 2 1由(5)式得JJ f (x, y )dxdy = JJ f (-u, v )dudv = JJ f (一 x, y )ixdyS2 S1 S1则由(4)式得JJ f (x, y )dxdy = JJ f (x, y )dxdy + JJ f (一x, y ')dxdy = JJ f (x, y)+ f (一x, y)]dxdyS1此时易得定理3的结论.由定理3易知：若f (x, y)为区域S上的连续函数，且区域S关于x轴对称, f (x, y)为关于y的奇函数或偶函数有类似的结论.推论 设f (x, y)为区域S上的连续函数，且区域S关于x轴和y轴均对称.(1)若f (x, y)为关于x及y的偶函数，即对V(x, y)G S有f(-x,y)=f(x,-y)=f(x,y)，JJ f (x, y )dxdy = 4JJ f (x, y )dxdyS S1其中S = «x, y ) l(x, y )g S, x > 0, y > 0} 1(2)若f (x, y)为关于x及y的奇函数，即对V(x, y)e S有f (- X, y ) = — f (x, y )或 f (x, — y ) = — f (x, y ),JJ f (x, y )dxdy = 0S定理4设f (x, y)为区域S上的连续函数，且区域S关于原点对称.⑴若对V(x,y)e S，有f (- x, — y )= f (x, y ),JJ f (x, y )dxdy = 2JJ f (x, y )dxdyS S1其中S = «x, y ) l(x, y )g S, x > o}1.(2)若对 V(x,y)g S，有则JJ f (x, y )dxdy = 0S定理5设f (x, y)为区域S上的连续函数，且区域S关于直线y = x对称.(1)若对 V(x,y)g S，有f(y, x)= f(x, y)，JJ f (x。