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word证明函数一致连续的假如干方法Several methods of proving the uniformcontinuity of the function专业:数学与应用数学作 者:管倩倩指导教师:涂建斌某某理工学院数学学院二○一六年四月某某摘 要 本文讨论了函数是否一致连续的问题, 将证明函数的一致连续性方法归纳为: 运用函数一致连续的定义证明函数一致连续性, 运用康托定理证明函数一致连续性, 运用Lipschitz条件证明函数一致连续性, 运用点列极限定理证明函数一致连续性和运用连续模数证明函数一致连续性等方法, 并通过实例说明了如何运用这些方法.关键词: 一致连续性; 康托定理; Lipschitz条件; 点列极限定理;AbstractThis paper discusses the uniformly continuity of function,and summarizes some methods of proving the function’s uniform continuity, such as using the definition, the Cantor theorem, the Lipschitz condition, the Point column limit theorem and the continual normand so on. Some examplesare applied by these methods.Keywords:uniform continuity; Cantor theorem; lipschitz condition; Point column limit theorem; II 目 录摘 要IABSTRACTII0 引言11 运用函数一致连续的定义证明函数的一致连续性12 运用康托定理证明函数的一致连续性33 运用利普希茨(Lipschitz)条件证明函数的一致连续性74 运用点列极限定理证明函数的一致连续性85 运用连续模数证明函数的一致连续性10致谢12参考文献13 0 引言函数的连续性是整个十九世纪数学家们研究的热点问题之一. 法国数学家柯西〔, 1789-1857〕在1823年所著《无穷小分析教程概论》中,还没有一致连续的概念.他把一致连续与连续看成同一概念.德国数学家海涅〔H.E.Heine,1821-1881〕研究一系列文献后, 于1870年给出了函数一致连续的定义, 并运用有限覆盖定理[1]证明了闭区间上的连续函数是一致连续的, 从此以后, 一致连续就成为了数学分析中的重要概念. 在研究函数的可积性与常微分方程的解的存在延拓定理等方面都有广泛的应用. 证明函数的一致连续性是这一系列应用的前提, 其所蕴含的丰富的数学思想方法是研究现代数学分析的思想来源之一.本文将散见于文献[1-12]中讨论函数一致连续的方法, 概括为: 运用函数一致连续的定义证明函数一致连续性; 运用康托定理证明函数一致连续性; 运用利普希茨条件证明函数一致连续性; 运用点列极限定理证明函数一致连续性; 运用连续模数证明函数一致连续性, 并通过实例说明如何运用这些方法证明函数一致连续.本文所用数学符号与文献[1]中所用符号一致, 文中没有特别说明的数学概念, 定理等都参见文献[1].1运用函数一致连续的定义证明函数一致连续性为以下表示的方便, 摘录函数一致连续的定义如下:定义1[1] 设为定义在区间上的函数, 假如对任给的, 存在, 使得对任何, 只要, 就有如此称函数在区间上一致连续. 例1 用定义证明在上一致连续.证明设=, , 如此, , : 有根据定义1知在上一致连续.例2 证明函数在上不一致连续. 证明 取, 对无论多么小的正数〔不妨设〕, 只要取与, 如此虽有, 但根据定义1知, 所以在上不一致连续.例3 假如分别在区间和上一致连续, 设区间的右端点为, 区间的左端点也为, 证明函数在上也一致连续.证明由于分别在和上一致连续, , 分别存在, 使得对任何, 只要, 就有, 〔1.1〕又对任何, 只要, 也有〔〕式成立.点为的右端点, 在点为左连续, 为的左端点时, 在点为右连续, 所以在点连续.故对上述, 存在, 当时, 有 〔1.2〕令, 对任何, , 分别讨论以下两种情形: 〔i〕同时属于或同时属于, 如此(1.1)式成立;〔ii〕分别属于与, 设, 如此,故由〔1.2〕式得 .同理得 .从而也有〔1.1〕成立, 所以在上也一致连续.注1o 可以用例3证明函数的一致连续性.2 运用康托定理证明函数的一致连续性 表示康托〔G.Cantor,德国, 1845-1918〕定理如下:定理1[1] 假如函数在闭区间上连续, 如此在上一致连续.运用康托定理证明函数一致连续, 首先要构造一个在闭区间上一致连续的函数, 再运用这一定理证明, 这里举几个常见的例子. 例4 假如在有限开区间上连续, 如此在上一致连续的充要条件是与存在.证明充分性由在有限开区间上一致连续, 有, , , , 都有,故当, 时, 有.由柯西收敛准如此知, 存在.同理可证存在.必要性因为与存在, 令在上连续, 从而在上一致连续, 因此在上一致连续.注2o仿例4, 我们还可以证明如下的结论：〔1〕函数在内一致连续的充要条件:在上连续且存在.〔2〕函数在由一致连续的充要条件:在内连续且存在.例5 假如函数在上连续, 在上一致连续, 且如此在上一致连续.证明因为, 如此对, 存在正数, 当时, 有.又因为在上一致连续, 如此对上述, 存在, 只要, 就有 .因此对任何, , , 有,而在闭区间, 只要, , 就有,取=, 如此当, 时, 有,所以在上一致连续.例6 假如在上连续, 且和都存在, 如此在上一致连续.证明由于和都存在, 不妨设 , .于是, , , 有., 有.从而, 有., 有.即在与上都是一致连续的.又在上连续, 从而在上一致连续.根据例3知在一致连续.注3o 仿照例6, 我们可以证明如下结论:〔1〕假如函数在内连续且存在, 如此在内一致连续.〔2〕假如函数在内连续, 且与都存在, 如此在内一致连续. 〔3〕假如函数在内连续且存在, 如此在内一致连续. 〔4〕假如函数在内连续, 且与都存在, 如此在内一致连续.例7函数在上可导, 且, 在上一致连续的充要条件是为有限数.证明 必要性 设, 下证在上一致连续, 因为, 如此存在, 当时有. (2.1) 再由可知存在自然数, 使 (2.2) 由(2.1), (2.2)知 (2.3)对上述, 可知存在自然数, 使, 由(2.3)式.其中在与之间, 从而. 从而得证在上一致连续. 又在上连续, 从而在上连续, 也即在上一致连续. 即对上述, 存在, 当, 且时, 有. 再取时, 如此对上述, 且当时, 有.此即证在上一致连续. 充分性 设在上一致连续, 下证.用反证法. 设 〔2.4〕 令, 对, 取, 由〔2.4〕式如此存在, 当, 有再令, 取, 且, 如此这与条件在上一致连续相矛盾. 所以, .3运用利普希茨(Lipschitz)条件定理证明函数一致连续性我们首先证明下面的满足利普希茨〔R.Lipschitz, 德国, 1832-1903〕条件的一致连续性定理. 定理2[2]假如函数在区间上满足利普希茨条件, 即存在常数, 使得对于上任意都有, 〔其中为一正常数〕, 如此在上一致连续. 证明 , 取, 如此：, 有所以在上一致连续. 运用定理2证明函数一致连续, 关键是找适宜的, 应用上常考虑运用微分中值定理.例8 函数在开区间上有连续的导函数, 且与均存在有限. 试证：在上一致连续. 证明 设函数如此在上连续, 根据闭区间上连续函数的性质知在上有界, 即, , . 于是, 有 〔位于与之间〕.根据定理2, 在上一致连续. 例9 证明：假如函数在上可导, 且, , 有, 如此在一致连续.证明, 有 〔位于与之间〕根据定理2知, 在上一致连续.4 运用点列极限定理证明函数的一致连续性 定理3[1]设函数定义在区间上, 如此在上一致连续的充要条件为：对任何数列, 假如, 如此. 证明 必要性 假如在上一致连续, 如此 , 如此. 设上两个数列, 满足=0, 于是对上述, 由一致连续性条件, 有, 即. 充分性 设对上任意两个数列与, 假如, 如此有. 现证在上一致连续. 用反证法. 假如在上不一致连续, 如此, , 满足, 但有, 取, ,, 有, 取, , , 有, 取, , , 有,于是, 但是, 与所设条件矛盾, 所以在上一致连续.定理3说明：假如存在两数列对任何数列, 假如, 且 , 如此在上不一致连续.如下我们运用这一结论来证明函数不一致连续. 例10 证明在内连续, 但不一致连续.证明是的复合函数, 在与时, 都是连续函数, 从而复合函数在上连续. 但假如取 如此, 而且, 但是〔〕即 所以在内不一致连续. 例11证明:在上一致连续, 但在上不一致连续. 证明 因为在上连续, 由定理2知在上一致连续. 取 如此, 而且但是 =2〔〕即 所以在上不一致连续. 例12 证明:假如与在上都一致连续, 如此在上一致连续. 证明 与在上都一致连续, 根据定理3, 对于任何两数列, 有 , 于是所以, 在一致连续.5 运用连续模数证明函数一致连续性为表示的方便，摘录黎曼积分的相关定义如下:定义[3] 假如在区间上有定义，如此称为函数连续模数. 其中是关于的非负、不减函数.定理4[3] 假如在区间上有定义，且, 如此在上一致连续.证明 必要性 由在区间上有。