数学 第二章 函数 2.2.2 二次函数的性质与图象 新人教B版必修1.ppt

2.2.2　二次函数的性质与图象第二章　§2.2　一次函数和二次函数学习目标1.掌握二次函数的概念，能用“描点法”作二次函数的图象.2.掌握二次函数解析式的基本形式，会求二次函数图象的对称轴及顶点坐标.3.会根据图象研究二次函数的性质.4.会求二次函数在给定区间上的最值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考　　知识点一　二次函数的概念结合一次函数的特征，请给出二次函数的定义、定义域？答案答案　答案　函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫二次函数，定义域为R.1.二次函数的定义函数    叫做二次函数，定义域为R.2.二次函数的解析式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点.(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根.梳理梳理y＝ax2＋bx＋c(a≠0)思考1　　知识点二　二次函数的图象与性质二次函数的图象是一条抛物线，那么哪一个是影响图象的开口方向？答案答案　答案　x2的系数a影响开口方向.思考2　　二次函数的图象是轴对称图形，那么对称轴的位置与哪些量有关？对称轴方程是什么？答案答案　答案　对称轴的位置与a，b两个量有关. a＞0a＜0图象图象特点(1)对称轴：_________(2)顶点：_____________梳理梳理二次函数的性质与图象定义域R值域奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数单调性 为减区间， 为增区间 为增区间， 为减区间最值抛物线有最低点，当x＝ 时，y有最小值ymin＝_________抛物线有最高点，当x＝时，y有最大值ymax＝_______题型探究例例1　　画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；解答类型一　二次函数的图象解解　　f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4的图象如图所示.由图可知，二次函数f(x)的图象对称轴为x＝1且开口向下，且|0－1|＜|3－1|，故f(1)＞f(0)＞f(3).(2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小；解答解　解　∵x1＜x2＜1，∴|x1－1|＞|x2－1|，∴f(x1)＜f(x2).(3)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0.解答解　解　由图可知：当x＞3或x＜－1时，y＜0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1＜x＜3时，y＞0.观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定 的符号.另外，还要注意与x轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.反思与感悟解　解　由y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，图象如图：由图象可知，函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8).跟踪训练跟踪训练1　　已知二次函数y＝2x2－4x－6.(1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；解答解　解　由图象可知，x＞3，或x＜－1时，y＞0；x＝－1或x＝3时，y＝0；－1＜x＜3时，y＜0.(2)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0.解答例例2　　已知函数f(x)＝x2－ax的单调增区间为(2，＋∞).(1)求参数a的值；类型二　二次函数的对称性与单调性解答又f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，解　解　对称轴方程为x＝2.(2)求对称轴方程；解答(3)求在R上的最小值.解　解　f(x)min＝f(2)＝－4.引申探究引申探究1.若f(x)＝x2－ax在(2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为_________.(－∞，4]答案解析解　解　∵f(x)＝x2－ax在[1,3]上单调，2.若f(x)＝x2－ax在[1,3]上单调，求a的范围.解答∴a≤2或a≥6，即a∈(－∞，2]∪[6，＋∞).(1)利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题.解答此类问题的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系.(2)比较二次函数函数值的大小的方法①若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小.②若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大.反思与感悟跟跟踪踪训训练练2　　已知函数y＝ax2＋(a－1)x＋ 在[1，＋∞)上是减函数，求a的范围.解答∴a＜0.综上所述a∈(－∞，0].例例3　　求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值.类型三　二次函数在给定区间上的最值的求法解答解　解　∵f(x)＝x2－2ax＋2的对称轴为x＝a且开口向上.∴①当a≤2时，f(x)在[2,4]上为增函数.∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.②当2＜a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.③当a＞4时，f(x)在[2,4]上为减函数，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.引申探究引申探究1.若求f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最大值，如何分类？解答解　解　区间[2,4]的中点为3.∵f(x)＝x2－2ax＋2的对称轴为x＝a且开口向上，∴①当a≤3时，f(x)max＝f(4)＝18－8a，②当a＞3时，f(x)max＝f(2)＝6－4a.2.若f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最大值为10，求a的值.解答解　解　由探究1知，当a≤3时，f(x)max＝18－8a＝10，∴a＝1；当a＞3时，f(x)max＝6－4a＝10，∴a＝－1(舍).综上所述：a＝1.3.若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求a的取值范围.解答解　解　由探究1知：①当a≤3时，f(x)max＝18－8a≤a恒成立，∴a≥2，即a∈[2,3].②当a＞3时，f(x)max＝6－4a≤a，∴a≥ ∴a＞3.综上所述：a∈[2，＋∞).二次函数最值问题的解题策略(1)确定对称轴，抛物线的开口方向，作图.(2)在图象上标出定义域的位置.(3)观察单调性写出最值.反思与感悟跟踪训练跟踪训练3　　已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a.(1)若函数f(x)没有零点，求实数a的取值范围；解答解　解　Δ＝(－2a)2－8a＜0，解得0＜a＜2.(2)若x∈[－1,2]时，f(x)≥－2恒成立，求实数a的取值范围.解答解　解　f(x)＝x2－2ax＋2a，对称轴为x＝a.当a＞2时，f(x)min＝f(2)＝4－2a≥－2，解得2＜a≤3.当－1≤a≤2时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a≥－2，解得1－ ≤a≤2.当a＜－1时，f(x)min＝f(－1)＝1＋4a≥－2，解得a∈∅.综上所述，a的取值范围是[1－ ，3].当堂训练解析解析　解析　由于y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，所以函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是(－1，－3).1.函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是A.(2，－2) B.(1，－2)C.(1，－3) D.(－1，－3)√√答案22334455112.已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋4，则函数A.对称轴为x＝1，最大值为3B.对称轴为x＝－1，最大值为5C.对称轴为x＝1, 最大值为5D.对称轴为x＝－1，最小值为3解析解析　解析　由y＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，知对称轴为x＝1, 最大值为5.答案√√2233445511解析解析　解析　对称轴x＝ ＝－2，∴m＝－16即y＝4x2＋16x＋5，当x＝1时，y＝4＋16＋5＝25.3.二次函数y＝4x2－mx＋5的对称轴为x＝－2，则当x＝1时，y的值为A.－7 B.1 C.17 D.25答案√√2233445511解析解析　解析　由题意，得－ ≥1，解得a≤－2.4.若二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上为减少的，则A.a＜－2 B.a≤－2C.a＞－2 D.a≥－2答案√√22334455115.函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[－2，－1]上的最大值是____，最小值是___.答案解析解析　解析　f(x)＝－x2＋2x＋1的对称轴x＝1，开口向下，∴f(x)max＝f(－1)＝－1－2＋1＝－2，f(x)min＝f(－2)＝－4－4＋1＝－7.2233445511－2－7规律与方法1.画二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：(1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；(2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.本课结束。