数学建模人口迁移的动态分析.doc

数学建模期末考查题数学建模期末考查是检验我们学习情况， 也是培养我们的数学建 模能力，团队合作能力，也有助于我们思考能力的锻炼，所以数学建 模期末题我们会认真对待，用我们所学、尽我们所能的完成它我们选择的题是：人口迁移的动态分析参与成员：日期：2010 年12 月 15 日摘要本文主要是计算 A1、A2、A3三地区经过迁移后的人口及人口比例的变化，经过分析列 出方程组，利用 C程序计算出10年后、100年后三地区的人口数由计算所得绘制出人口 数量的走势图，加以数据的分析，进而对时间无限的增长各地区人口比例的稳定性进行了很 好的分析通过对该问题的数学模型建立， 培养了团队合作能力， 锻炼了我们的发散思维能力， 增强了用数学方法解决实际问题的能力关键词：人口迁移模型，研究性学习， VC++,递归方法#问题重述在工业化的进程中， 经济欠发达地区的人口会向经济发达地区迁移， 形成一个稳定的朝向城市的人口流动趋势假设有三个地区 a、a、a3，第一年初三个地区的总人口为 1亿人，各个地区人口在总人口中的比例分别是 25%、35%、40%地区A每年有人口的1 %流向地区 A，有人口的1%流向地区A3 ；地区 A每年有人口的1%流向地区 A，有人口 的2%流向地区Al ；地区A每年有人口的3%流向地区 A，有人口的2%流向地区 A。

1） 假如三个地区的总人口保持不变， 并且人口流动的这种趋势继续下去， 问10年以后三个地区的人口各是多少？ 100年以后呢？时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平2） 设地区 A的人口自然增长率 5%地区 A2的人口自然增长率为 7%地区A3的人 人口自然增长率为11%并且假定人口迁移是在每年初或年末一次完成的，问 10年以后三 个地区的人口各是多少？ 100年以后呢？时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平问题分析：（1）、我们需要建立一个描述这 3个地区人口流动的模型， 并求出在多少年后 A2、A3地区的人口问题假设1、 A1、A2、A3地区是相对封闭的地区，人口的流动只发生在这 3个地区2、 问题中提过3个地区的总人口不变， 所以假设该3个地区的出生率等于死亡率 在问（2） 中则不是，A. A?、A3地区的人口是增长的，没个地区的增长率不一样，而迁移的时候 是在增长了人口后3、 假设人口的迁移时是一次性完成的，在每年末完成4、 每个地区的迁入、迁出的比例不变5、 符号的说明：Aij （i=1、2、3, j=1、2、3…..）:Ai地区在 j 年后的人口数ri（i=1、2、3）:为Ai地区的自然增长率。

问题的解决问题(1)我们从问题中获得的信息可以列出数学表达式如下：设 x为总人口数，则：第一年：Aii=0.25*x+0.35*x*0.02+0.40*x*0.03-0.25*x*0.02A2i=0.35*x+0.25*x*0.01+0.40*x*0.02-0.35*x*0.03A3i=0.40*x+0.25*x*0.01+0.35*x*0.01-.0.40*x*0.05第二年则在第一年的基础上迁移：Ai2=0.25* A 11+0.35* A 21*0.02+0.40* A 31*0.03-0.25* A ii*0.02A22=0.35* A 21+0.25* A ii*0.01+0.40* A 31*0.02-0.35* A 21*0.03A32=0.40* A 31+0.25* A ii*0.01+0.35* A 2i*0.01-.0.40* A 31*0.05第三年则在第二年的基础上迁移 …以此类推，用递归的方法可求出某年的 Ai、A?、A3地区的人口问题(2:):从问题中分析可知：每个地区每年增长了人口后，则迁移人口数则与问题( 1)有所不同，用已知的数据和条件求 Ai、A2、A3地区迁移过后的人口。

设Ai、A2、A3地区未增长时的总人口数是 x,则：第一年：Aii=0.25*x*(1+0.005)+0.35*x*(1+0.007)*0.02+0.40*x*(1+0.011)*0.03-0.25*x*(1+0.00 5)*0.02A 2i=0.35*x*(1+0.007)+0.25*x*(1+0.005)*0.01+0.40*x*(1+0.011)*0.02-0.35*x*(1+0.007)*0.03A 3i=0.40*x*(1+0.011)+0.25*x*(1+0.005)*0.01+0.35*x*(1+0.007)*0.01-0.40*x*(1+0.011)*0.05第二年则在第一年的基础上迁移，同时也有人口的增长：Ai2=0.25*A ii*(1+0.005)+0.35*A 2i*(1+0.007)*0.02+0.40*A 3i*(1+0.011)*0.03-0.25*A 11 *(1+0.005)*0.02A22=0.35*A 2i*(1+0.007)+0.25*A ii*(1+0.005)*0.01+0.40*A 3i*(1+0.011)*0.02-0.35*A 21 *(1+0.007)*0.03A32=0.40*A 3i*(1+0.011)+0.25*A ii*(1+0.005)*0.01+0.35*A 2i*(1+0.007)*0.01-0.40*A 31*(1+0.011)*0.05第三年在第二年的基础上迁移，同时也有人口的增长 …..运用递归的方法就可求出某年的Ai、A2、A3地区的人口。

对于我们来说求解问题时，首先想到的是运用 Microsoft Visual C++来编程：问题(1)的解：运用C程序求出，在人口总数不变的情况下：10年后地区人口数为：A 1=36248300, A2=34517400, A3=29234400;100年后地区人口数为：A 1=53847500, A2=29437900, A3=16714600;当时间无限增长时，用C++程序可求的3个地区的人口趋于稳定了， 则人口比例也趋于稳定，也可作出人口一时间的曲线图，可看出曲线到后面已趋于稳定问题(2)的解：10年后地区的人口数：A 1=38497300, A2=37122300, A 3=32457200;100年后地区人口数：A 1=104040000 , A 2=59793000 , A 3=35793400;当时间无限增长时，用 C++程序运算可求出 A1与A2、A2与A3的人口比例趋于1.6~1.8之间，则可知人口比例趋于稳定模型的结果分析1、 在总人口保持不变时，随着时间的推移，各地区的人口数量会趋于一个稳定值2、 在人口自然增长率固定时， 随着时间的推移，各地区的人口数量虽然不会达到一个稳定 值，会不断地上升，但最终各地区的人口比例也会趋于一个稳定水平。

模型的优缺点：优点：人口迁移在有限年内找到其规律， 建立模型，虽然模型求解要用到计算机帮助， 但程序原理简单，求解方便缺点：人口迁移局限在了一个很小的地方， 忽略了其他地区的迁入和迁出到其他地区的情况，假定了 3个地区的总人口不变和人口自然增长率不变，这是与实际不太相符的程序清单#in clude#in cludevoid coun t_p(){double a,b,c;int i;in t p;double A1,A2,A3;A1=2.5e7;A2=3.5e7;A3=4e7;printf("请输入需要计算的时间(以年为单位) :");scan f("%d",&p);if(P<0){while(p<0){printf(”输入错误!请重新输入！\n"); scan f("%d",&p);}}for(i=1;i<=p;i++){a=A1;b=A2;c=A3;A仁a+b*0.02+c*0.03-a*0.01-a*0.01;A2=b+a*0.01+c*0.02-b*0.01-b*0.02;A3=c+a*0.01+b*0.01-c*0.03-c*0.02;}printf("%d年后个地区人口数统计如下： \n",p);prin tf("A1 地区人口数： %g\n",A1);printf("A2 地区人口数： %g\n",A2);printf("A3 地区人口数： %g\n",A3);}coun t_p2(){double a,b,c;int i;in t p;double A1,A2,A3;A1=2.5e7;A2=3.5e7;A3=4e7;printf("请输入需要计算的时间(以年为单位) ：”);scan f("%d",&p);if(p<0){while(p<0){printf("输入错误!请重新输入!\n");scan f("%d",&p);}for(i=1;i<=p;i++){a=A1;b=A2;c=A3;A1=(a+A1*0.005)+(b+A2*0.007)*0.02+(c+A3*0.011)*0.03-(a+A1*0.005)*0.01-(a+A1*0.005)*0.01;A2=(b+A2*0.007)+(a+A1*0.005)*0.01+(c+A3*0.011)*0.02-(b+A2*0.007)*0.01-(b+A2*0.0 07)*0.02;A3=(c+A3*0.011)+(a+A1*0.005)*0.01+(b+A2*0.007)*0.01-(c+A3*0.011)*0.03-(c+A3*0.0 11)*0.02;}prin tf("%d年后个地区人口数统计如下：\n" ,p);prin tf("A1地区人口数：%g\n",A1);prin tf("A2地区人口数：%g\n",A2);prin tf("A3 }地区人口数：%g\n",A3);main (){int j;while(1){printf("\t\t\t人口动态分析人口计算 \n");printf("\t\t\t1流动趋势人口计算\n");printf("\t\t\t2考虑增长率在内的人口计算 \n");printf("\t\t\t3 退出程序 \n");printf("请输入选择:");scan f("%d",&j);if(j<0||j>3){while(j<0||j>3) prin tf("\n");printf(”输入错误！请重新输入！ \n");printf("请输入选择:");scan f("%d",&j);}}prin tf("\n");switch(j){case 1:co un t_p();break;case 2:co un t_p2();break;case 3:system("cls");printf("\n\n\n\n\n\n\t\t\t\t 谢谢使用!!\n");exit(0);}}}附录:问题（1） 100年内人口数目曲线:人口迁移后地区人口数问题（2） 100年内人口数目曲线:固定增长率迁移后的人口数参考文献数学建模（第二版） 徐全智杨晋浩编著数学模型（第三版） 姜启源谢金星叶俊编著#。