成贤教材-高数b下9.2.2极坐标系下二重积分的计算.doc

19.2.2 极坐标系下二重积分的计算有些二重积分，区域 D 的边界曲线用极坐标方程表示比较方便，且被积函数用极坐标变量 表达比较简单这时，就可以在极坐标系下计算二重积分,（一）把二重积分 化为极坐标形式dyxf),(设函数 在闭区域 D 上连续区域 D 的边界曲线为 和 ，),(yxf )(1)(2，其中 ， 在 上连续(1)(2],[假设从极 出发且穿过闭区域 D 内部的射线与 D 的边界曲线相交不多于两点O 点用以极点为中心的一族同心圆： 常数，以及从极点出发的一族射线： 常数，把 分成 n 个小闭区域，除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积 计算如下：可 iiiiii  )2(12)(21iiiii ][其中 表示相邻两圆弧的半径的平均值在这小区域内取圆周 上一点 ，i i),(i该点的直角坐标设为 ，则由直角坐标与极坐标的关系有 ，i , iicos，iisn故 iiniiidiiidff 1010 )sn ,co(lm) ,(lm即 ①Ddfyxf )s,co(,（二）把二重积分的极坐标形式化为二次积分一般地，先对 后对 。

积 分 积 分 1．极点在积分区域 的外部设积分区域为 ： ，其中函数 ， 在[ ]上连续D)()(21)(1)(2,)(2Dx)(2Dxoo xDiiii D2② )(21)sin ,cod)sin,co(D dff若积分区域为 ： )(0 )(0)sin ,cod)sin,co(D dff2．极点在积分域 D 的内部设积分区域为 ： ，则有)(02  0)()sin ,codsin,co( D dff在极坐标系中，闭区域 D 的面积 可以表示为d若闭区域 如图 1，则 dddD])([2121)(21若闭区域 如图 2，则dddD)(2)(0例 1．计算下列二重积分（1） ，D 为圆 所围成的区域dyxR2Rxy2解：把区域 D 的边界曲线的直角坐标方程 化为极坐标方程，得，于是有cosD： cs02R∴ dRdyx2 cos 022 33)sin1(dxcosRoDxo2 图xoD)()(D)(2xo 图3。

2 03)sin1(3dR]sin[22 03 3ddR 33)4(1]2[RR（2） ，D： ， ， 所围成的区域xyarct 4yxxy解：D： ， 2140 2 4 1010cosinartarctn dddxy 64322例 2．将二次积分 化为极坐标下的二次积分yxf210 ),(解： ： .Dcosin2  dfdyxfdx1 cosin2 1 )sin,(),(020例 3．计算二重积分 ，其中 xyID }2 ,0),({xyxyxD解： 4 3cos20 4 cos8ddI290)(sini1(364 02例 4．球体 被圆azyx柱面 所截得的)(2（含在圆柱面内的部分）立体的体积解：由对称性，得 其中积分区域为 D： dxyaVD24cos20a1yx4o4xocos4yzoxxyoa24 cos2022444aD ddxyaV)32()sin1(3203例 5．求三叶玫瑰线 所围成的面积。

ia解： 3sin061DddS da3sin06021aa602602)cos1(3sin .4]6si[220a例 6．计算无穷积分 .dxeI 解：因为 的原函数不能用初等函数表示，所以无法直接计算这个广义积分，在这里利2xe用二重积分进行计算设 ， dxyHD)2( }0,),{(yxD.2 0 0)( 2Idedeex 用极坐标计算 ∵ ，} ,),{(∴ ， ∴ ，4]21[0 0 22 ededH 42I 0xI二重积分的一般换元法则定理 设函数 在 平面上的闭区域 D 上连续，变换 T： ，将 平),(yxfo),(vuyxo面上的闭区域 变为 平面上的 D，且满足D（1） 在 上具有一阶连续偏导数，),(,vuyx（2）在 ， ，上0,,yxJ oxyox65（3）变换T： 是一对一的，则有DduvJvyuxfdyxfD),(],),([,此公式称为二重积分的换元公式注： 内个别点上，或一条线上为零，而在其他点上不为零，那么换元公vuJ ),(只 在式仍成立。

在极坐标变换 下， ，sincoyxcossini,,yxJ按二重积分的换元公式，便得： Ddfdf )i,(,这里 在 平面上对应的区域在上节内所证的相同公式上用的是 ，D 是o D而 不 是因为在那里把 同一平面上点 的极坐标，故积分区域仍记 看 作),(),(yx为例 7．计算 ，其中 由 围成Dxyd 3,2,2xy解：令 ，则 ，xyvu2312uvD 的边界曲线 3 ,2 ,2 ,22  vxyvxyuy， }1 ),({vv，uxyyxuyxuJ 3121,,, 2ln6512ln31312 vvdudvudxyD例 8．计算 ，其中 D 为椭圆 所围成的区域xyba22byax解：作广义极坐标变换： ，则sincooDuv12o6，1),(2byaxD 20 ,1),(D，abJcossini,, DD abdddxyba 32111 2022。