高考数学一轮复习人教A版不等式的综合应用学案.docx

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名 推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯不等式的综合应用【考纲要求】1．在熟练掌握一元一次不等式 (组 )、一元二次不等式的解法基础上， 掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式 (组 )，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法 ( 比较法、分析法、综合法、数学归纳法等 )，使学生较灵活的运用常规方法 (即通性通法 )证明不等式的有关问题；4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识． ．【知识网络】解不等式问题不等不等式中的含参问题式的综实际应用问题合应用不等式证明【考点梳理】考点一：不等式问题中相关方法1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形， 不等式的性质则是不等式变形的理论依据， 方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式 (主要是一次、二次不等式 )的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式 (组 )是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差 (商 )→变形→判断符号 (值)．5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名 推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明； 反之亦可从明显的、 熟知的不等式入手， 经过一系列的运算而导出待证的不等式， 前者是 “执果索因”，后者是“由因导果” ，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的．6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．考点二：不等式与相关知识的渗透1．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、 灵活多样性， 这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通， 起到了很好的促进作用． 在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程 (组 )的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。

2．不等式应用问题体现了一定的综合性．这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件．利用不等式解应用题的基本步骤： 10 审题， 20 建立不等式模型，30 解数学问题，40 作答要点诠释： ⑴解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来求解， ⑵解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用⑶不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选用一些特殊技巧如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度⑷根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法典型例题】类型一：不等式求解问题例 1．解关于 x 的不等式： x x2a20aa9【思路点拨】 含绝对值的不等式问题应该先考虑分情况讨论去掉不等式解： 当 xxaxaa时，不等式可转化为2a 2即29ax 2a 209x x a9xax317 abx axa当xa时不等式可化为 ax(ax) 2a2即9x29ax 2a20xa 或 2ax a33故不等式的解集为 ( , a2a , 317 a336【总结升华】 含参数问题应该首先考虑到是否需要分类讨论，绝对值问题往往需要根据绝对值内与零的关系进行讨论。

举一反三：基本不等式 3948892⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名 推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【变式 1】已知函数 f (x)ax22x 1(a R)（ 1）若 f (x) 的图像与 x轴恰有一个公共点，求a 的值；（ 2）若方程 f ( x) 0 至少有一个正跟，求 a 的范围解：（ 1）当 a 0时函数 f ( x) 为一次函数，符合题意；当 a0时，函数 f ( x) 为二次函数，则44a 0 ，所以 a1综上，a.0或1（ 2）当 a0 时， f ( x)0为一次方程，不符合题意；当 a0时， f (x)0 为二次方程，显然f (0)1所以a0时有一正一负根，符合题意；当 a0 时，0a11x1x200xax1x2020a综上， a 的范围 a0 .类型二：不等式证明【例 2】 (2014 南京校级四模 )已知 a>0,b>0 且 a+b=1 求证：2a12b 1 2 22【思路点拨】利用不等式a2b2ab2【证明】若 x>0,y>0, x2y22 xy 则 2x2 y 2x2y22xyx2y2y2即 x y2 x2所以当 a>0，b>0 ，且 a+b=1 时2a 122b 12 2a 1 2b 1 82a12b122当且仅当2a 12b1即 a1时取等号 .b2【总结升华】本题考查不等式的证明，解题关键时要注意到基本不等式与均值不等式之间的关系，同时要考虑到不等式中等号成立的条件 .举一反三：3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名 推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【变式】 (2014衡阳县校级模拟 )(1) 已知函数 f xcos2x, g x11 sin 2 x 设 xx0 是函数。