[推荐学习]高中数学第二章平面向量本章复习教案.pdf

k12 最新 K12 第二章平面向量本章复习整体设计知识网络教学分析向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、 三角、 复数、 立体几何、 解析几何等知识的联系是显而易见的因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义变抽象为形象， 变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题， 从而提高本章复习的教学质量数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法向量法向量方法宜于把几何从思辩数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解k12 最新 K12 题的思维方向学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比 而一维情形下向量的共线条件，到二维情形下的平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比向量是数形结合的载体，在本章学习中， 一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面， 我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题同时， 向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态的演示能使学生理解、掌握问题在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路， 这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平三维目标1通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念， 平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识提高分析问题、解决问题的能力2通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化培养学生的数学应用意识深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想3通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学重点难点教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算、数量积的理解运用教学难点： 向量的概念、 运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用课时安排2 课时教学过程第 1 课时导入新课思路1.( 直接导入 ) 前面一段，我们一起探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力这一节， 我们一起对本章进行小结与k12 最新 K12 复习，进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用思路2.( 问题导入 ) 由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系， 因而成为中学数学知识网络的一个交汇点在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、 几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习推进新课知识巩固向量的概念、运算及其综合应用活动： 本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大， 效果也不好 教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较比较是最好的学习方法，如向量的表示法有：几何表示法为AB，a( 手写时为 a ) ，坐标表示法为axi yj(x ，y) 有哪些特殊的向量：a0 |a| 0. 向量a0为单位向量|a0| 1. 相等的向量：大小相等，方向相同ab (x1，y1) (x2，y2) x1 x2，y1 y2等等指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算向量的加减法， 数与向量的乘积， 向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容：运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1. 平行四边形法则( 共起点构造平行四边形) 2三角 ( 多边 ) 形法则( 向量首尾相连) ab(x1x2，y1y2) abba(ab) ca(bc) ABBCAC向量的减法三角形法则( 共起点指向被减) ab(x1x2，y1y2) aba(b) AB BAk12 最新 K12 OBOAAB数乘向量1. a是一个向量，满足| a| | |a|. 20 时， a与a同向；0 时， a与a异向；0 时， a 0 a( x，y) ( a) ( )a( )aaa(ab)ababab(b0)向量的数量积ab是一个实数1a0 或b0 或ab时，ab 0 2a0且b0 时，ab|a|b|cos a，babx1x2y1y2abba( a)ba(b) (ab) (ab)cacbca2|a2|，|a|x2y2|ab|a|b| 本章的重要定理及公式：(1) 平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1、2，使a1e1 2e2. (2) 两个向量平行的条件：ab(b0)存在惟一的实数 使得ab；若a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，则abx1y2x2y10(b可以为 0)(3) 两个向量垂直的条件当a、b0时，abab0 x1x2y1y2 0. 讨论结果：略应用示例例 1 已知a(1,2) ，b( 3,2) ，当 k 为何值时，(1)kab与a3b垂直？(2)kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？活动： 向量的垂直、 平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一 在解决本题时， 教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度，角度， 垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么怎样应用向量共线这个条件呢？让k12 最新 K12 学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高解： (1)kabk(1,2) ( 3,2) (k 3,2k 2) ，a3b (1,2) 3( 3,2) (10 ， 4) 当(kab)(a3b) 0 时，这两个向量垂直由(k 3)10 (2k 2)( 4) 0，解得 k19，即当 k19 时， kab与a3b垂直(2) 当 kab与a3b平行时，存在惟一实数，使 kab(a3b) 由(k 3,2k 2)(10 ， 4) ，得k 310 ，2k2 4.这是一个以k、 为未知数的二元一次方程组解这个方程组得k13， 13，即当 k13时， kab与a3b平行，这时 kab13ab. 因为 130，所以13ab与a3b反向点评：向量共线的条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择在本例中，也可以根据向量平行条件的坐标形式，从(k 3)( 4) 10(2k 2) 0，先解出k13，然后再求. 变式训练1已知向量a、b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是 ( ) 2a 3b4e且a 2b 3e存在相异实数 、，使 ab0 xa yb0(其中实数x、 y 满足 xy0) 已知梯形ABCD中， ABa、CDbAB C D解析： A、B均含有，而C、D均含有，所以可先判定或. 若能使a、b共线，则只有从 A、B中进一步作出选择，若不能使a、b共线，则应从C、D中进一步作出选择首先判定能否使a、b共线由向量方程组2a3b4e，a2b 3e，可求得a17e，b107e. bk12 最新 K12 10a. a、b共线，因此可排除C、D. 而由可得、 是相异实数，所以、 不同时为 0，不妨设0，ba，故a、b共线，排除B，选择 A. 答案： A 2设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，若向量 ABi2j，BCimj，那么是否存在实数m ，使 A、 B、C三点共线？解：方法一：假设满足条件的m存在，由A、B、 C三点共线，即ABBC，存在实数，使 ABBC，i2j (imj) ， 1，m 2，m 2，即当 m 2 时， A、B、C三点共线方法二：假设满足条件的m存在，根据题意可知：i(1,0) ，j(0,1)， AB(1,0)2(0,1)(1 ， 2)，BC(1,0)m(0,1) (1 ，m)由 A、B、C三点共线，即ABBC，故 1m 1( 2) 0，解得 m 2. 当 m 2 时， A、B、C三点共线 . 例 2 如图 1，已知在 ABC中，BCa， CAb，ABc. 若abbcca. 求证：ABC为正三角形图 1 活动：引导学生回顾， 向量具有二重性， 一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出本题给出的是三角形，k12 最新 K12 对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现真正做到一题多用，一题多变，串联知识、串联方法，使学生在探究过程中掌握了知识，提高了思维能力和复习效率证法一：由题意得abc0，c (ab)又bcca，c(ab) 0. a2b20. |a|2|b|2，即 |a|b|. 同理可得 |c|b| ，|a|b|c|. ABC为正三角形证法二：由题意得abc0，abc，bac.a2b2c22bc，b2a2c22ac. 而bcca( 已知 ) ，a2b2b2a2.a2b2.|a|2|b|2.|a|b|. 同理可得 |c|b|，|a|b|c|. ABC为正三角形证法三：如图2，以 AB 、BC为邻边作平行四边形ABCD ，则 ADa，BDADAB，图 2 BDac. 又abbc，b(ac) 0. bBD0. bBD. 平行四边形ABCD 为菱形， AB BC.同理可得BC AC ，ABC为正三角形证法四：取 BC的中点 E，连结 AE ，则AE12(ABAC) 12(cb) ，k12 最新 K12 AEa12(cb) a0. AEa. AB AC. 同理可得 BCAC ， ABC为正三角形点评： 本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法数学教学中， 一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况教师要引导学生善于挖掘. 变式训练1若 ABBC AB20，则 ABC是( ) A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案： A 2在四边形ABCD 中， ABBCBCCDCDDADA AB，试证明四边形ABCD是矩形证明：设 ABa，BCb，CDc，DAd，abcd0，ab (cd) 两边平方，得|a|2。