常数项级数的概念和性质(共30页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上§1 常数项级数的概念和性质【目的要求】 1、能区分无穷项相加与有限项相加的区别； 2、了解无穷级数部分和与级数收敛及发散的关系、和的定义； 3、掌握用部分和的极限、收敛级数的必要条件来判别级数的敛散性． 【重点难点】 数项级数的概念与性质． 【教学内容】 一、常数项级数的概念 定义1.1 给定一个无穷实数列：则由这数列构成的表达式叫做常数项无穷级数, 简称常数项级数, 记为, 即,其中第项叫做级数的一般项(或通项). 级数的前项和称为级数的前项部分和. 部分和构成的数列称为部分和数列. 定义 1.2 如果级数的部分和数列收敛, 即, (为一实数)则称无穷级数收敛, 并称为级数的和, 并写成;如果发散, 则称无穷级数发散. 级数的收敛和发散统称为敛散性. 当级数收敛时, 其部分和是级数的和s的近似值, 它们之间的差称为级数的余项. 和之间的误差可由去衡量, 由于, 所以 例1 讨论等比级数(几何级数), ()的敛散性. 解 如果, 则部分和. 当时, 因为, 所以此时级数收敛, 其和为. 当时, 因为不存在, 所以此时级数发散. 如果, 则当时, 因为不存在, 因此此时级数发散; 当时, 级数成为, 因为不存在, 因此此时级数发散. 综上所述, 如果, 则级数收敛, 其和为; 如果, 则级数发散. 例2 证明级数是发散的. 证 此级数的部分和为.显然, , 因此该级数是发散的. 例3 判别无穷级数 的收敛性. 解 部分和,由于 从而,所以该级数收敛, 其和是1. 以上几个例题, 都是先将部分和的表达式算出, 然后讨论是否存在, 从而判断级数的敛散性. 然而对绝大多数级数来说, 的表达式难以计算, 而且实际问题中往往只需知道一个级数是收敛还是发散, 并不奢望对每个级数都求出其和, 因此我们有必要研究某些直接从一般项的形式就可以判断敛散性的简明法则. 为此, 先对级数的基本性质展开一些讨论. 二、收敛级数的基本性质性质 1 如果级数收敛于和, 为任意常数, 则级数也收敛, 且其和为. 证 设与的部分和分别为sn与sn, 则 . 所以级数收敛, 且和为. 性质2 如果级数、分别收敛于和、, 则级数也收敛, 且其和为. 证 设、、的部分和分别为sn、sn、tn, 则 .所以级数收敛, 且和为. 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数是收敛的, 级数也是收敛的, 级数也是收敛的. 性质4 设级数收敛, 其和为, 则保持级数原有顺序对其任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 注意 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数收敛于, 但级数却是发散的. 推论 如果保持原有顺序添加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 性质5(级数收敛的必要条件) 如果收敛, 则它的一般项 趋于零, 即. 证 设级数的部分和为, 且, 则 . 注意 性质5只是级数收敛的必要条件, 而不是充分条件, 即一般项趋于零的级数不一定收敛. 但可以用性质5的逆否命题来判断一个级数的发散. 推论 若，则级数发散. 由此结论, 我们马上可知下列级数:, , , 是发散的. 应当注意, 尽管有些级数的一般项趋向于零, 但仍是发散的. 例4 证明调和级数 是发散的. 证 假若级数收敛且其和为, 是它的部分和. 显然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 这矛盾说明级数必定发散. §2 常数项级数的审敛法【目的要求】 1、理解正项级数的定义、性质、收敛的充分必要条件； 2、掌握三种判别法使用区别． 3、了解绝对收敛与条件收敛等概念； 4、熟练掌握交错级数收敛的判别法； 5、熟练掌握绝对收敛与条件收敛的判别法． 【重点难点】 正项级数的特有性质及判别法． 区分绝对收敛与条件收敛．【教学内容】 一般的常数项级数, 它的各项可以是正数、负数或者零. 现在我们先讨论各项都是非负的级数——正项级数. 这种级数特别重要, 以后将看到许多级数的敛散性问题可归结为正项级数的收敛性问题. 一、 正项级数及其审敛法 定义 2.1 若级数的各项均非负, 即, 则称该级数为正项级数. 设级数 (1)是一个正项级数, 它的部分和为. 显然, 数列是一个单调递增数列. 如果数列有界, 根据单调有界的数列必有极限的准则, 级数(1)必收敛于. 反之, 如果正项级数(1)收敛于, 即, 根据有极限的数列是有界数列的性质可知, 数列有界. 因此, 我们得到如下重要的结论. 定理2.1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界. 由定理2.1 可知, 如果正项级数发散, 则它的部分和数列(), 即 由此, 可得关于正项级数的一个基本的审敛法. 定理 2.2 (比较审敛法) 设和都是正项级数, 且 (). 若级数收敛, 则级数收敛; 反之, 若级数发散, 则级数发散. 证 设级数收敛于和, 则级数的部分和 即部分和数列有界, 由定理2.1 知级数收敛. 反之, 设级数发散, 则级数必发散. 因为若级数收敛, 由上已证明的结论, 将有级数也收敛, 与假设矛盾. 推论 设和都是正项级数, 如果级数收敛, 且存在自然数, 使当时, 有 ()成立, 则级数收敛; 如果级数发散, 且当时, 有 ()成立, 则级数发散. 例1 讨论p-级数 的收敛性, 其中常数. 解 设. 这时, 而调和级数发散, 由比较审敛法知, 当时级数发散. 设, 且时. 有 (). 对于级数, 其部分和 . 因为. 所以级数收敛. 从而根据比较审敛法的推论可知, 级数当时收敛. 综上所述, -级数当时收敛, 当时发散. 例2 证明级数是发散的. 证 因为, 而级数是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理 2.3 (比较审敛法的极限形式) 设和都是正项级数, , 且, 则 (1) 当时, 级数与同时收敛或同时发散; (2) 当时, 若级数收敛, 则级数收敛; 若发散, 则发散. (3) 当时, 若级数发散, 则级数发散; 若收敛, 则收敛. 例3 判别级数的收敛性. 解 因为, 而级数发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数发散. 例4 判别级数的收敛性. 解 因为, 而级数收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数收敛. 定理 2.4 (比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 设为正项级数, 对任意, 有, 则 (1) 当时, 级数收敛; (2) 当时, 级数发散; (3) 当时, 级数可能收敛也可能发散. 例5 证明级数是收敛的. 解 因为, 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数的收敛性. 解 因为, 根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数的收敛性. 解 . 这时, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性. 因为, 而级数收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 定理 2.5 (根值审敛法, 柯西判别法) 设是正项级数, 且 , 则 (1) 当时, 级数收敛; (2) 当时, 级数发散; (3) 当时, 级数可能收敛也可能发散. 例8 证明级数是收敛的, 并估计以级数的部分和近似代替和所产生的误差. 解 因为, 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛. 以这级数的部分和近似代替和所产生的误差为 + . 例9 判定级数的收敛性. 解 因为 , 所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 定理 2.6 (极限审敛法) 设为正项级数, (1) 当时, 则级数发散; (2) 当, 而时, 则级数收敛. 例10 判定级数的收敛性. 解 因为, 故 , 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 例11 判定级数的收敛性. 解 因为 , 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 定理 2.7 (积分审敛法) 设为正项级数, 是上的单调递减连续函数, 且对任意自然数有,则级数收敛的充分必要条件是广义积分收敛. 例12 判定级数的收敛性. 解 设,在此定义区间中, 单调递减连续, 且,由于,即广义积分发散, 所以原级数发散. 二、交错级数及其审敛法 定义 2.2 常数项级数的各项依次正负相间, 就称该级数为交错级数. 它的一般形式如下:, 其中.例如, 是交错级数, 但不是交错级数. 下面给出关于交错级数的一个审敛法. 定理 2.8 (莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件: (1) , (); (2) ,则级数收敛, 且其和, 其余项满足. 例13 证明级数收敛, 并估计其和及余项. 证 这是一个交错级数. 而且该级数满足 (1) (), (2), 由莱布尼茨定理, 该级数是收敛的, 且其和s