欧氏空间习习题答案.doc

第九章欧氏空间习题答案一、填空题1. 0；2. ，；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ，；8. ；9. ；10. 线性变换在某基下的矩阵；11. 0，；12. 它们的维数相同；13. ，1；14. ；15. 正交；16. ；17. 正定的二、判断题 1-5 ××√√√ 6-10 √×√√√ 11-15 √√√×√ 16-20 √√×√×三、选择题 1-5 CDBCC 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB四、计算题1. 由，故特征值为当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为则令，为正交阵，有2. （1），由于二次型正定，则，即2）当时，则由，特征值为故标准形为3. 二次型矩阵为由于正交变换得到的标准形为，则的特征值为，故，可得当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为则令，为正交阵，有4. 设属于特征值的特征向量为，则，即，基础解系为，把，单位化为，单位化为令，为正交阵，有进一步得到5. 当时，则故对于任何整数，该集合均为正交向量组。

6. 令的一组基为，则有，可得在这组基下的度量矩阵为由，特征值为当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为令为正交阵，使得 则对角阵不是单位阵7. 令对应的二次型矩阵为（1）正交变换：由，故特征值为当时，有，则特征向量为，单位化为；当时，有，则特征向量为，单位化为；当时，有，则特征向量为，单位化为则令，为正交阵，有，则标准形为2）平移变换：即，作非退化线性替换，即不妨设，则，其中设的一组标准正交基为，则因为是对称矩阵，则是对称变换由，故特征值为当时，有，则特征向量为，单位化为；当时，有，则特征向量为，单位化为则令，为正交阵，则存在一组标准正交基使得，则有9. 设且，，则，即可取把正交单位化如下，为的一组标准正交基10. 由，故特征值为当时，有，则特征向量为，属于特征值0的全部的特征向量为，其中为任意常数单位化为；当时，有，则特征向量为，单位化为则令为正交阵，则存在一组标准正交基使得，则有五、证明题1. ，即2. 令，，则，则，，即，则是一个对称变换3. 必要性是显然的下面来证明充分性由于，即，因此，从而是单射，又由于存在双射，并且有因此欧氏空间与一个同构映射4. 不妨设是向量组的一个极大线性无关组，下证是向量组的一个极大线性无关组。

令，则有则，由于线性无关，则，即线性无关根据的极大性，则，即故，也即是说是向量组的一个极大线性无关组，即，从而5. （1）左边（2）右边6. ，则又因为都是对称变换则上式可化为，故是对称变换7. 令，，，则有解秩秩秩秩与同解8. 设实对称矩阵，则而为的阶顺序主子式，故当充分大时，，故可得是正定矩阵9. 是正交变换，则，设是向量组的一个极大线性无关组，则是向量组的一个极大线性无关组否则的话线性无关因为的极大性，则线性相关即存在不全为零的，满足，从而即，即线性相关这是矛盾的再将单位化为，即，其中，由于，则令，从而也使正交单位向量组分别扩充为的两组标准正交基，既有；定义，使得，为正交变换，从而，则，即。