哈工大高等结构动力学第三次.ppt

○ 弹簧的等效质量弹簧的等效质量 在图在图示中，设弹簧中，设弹簧k k具有质量，其单位长度的质量为具有质量，其单位长度的质量为 ，那么弹簧，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面就来讨论这个问题的质量对系统的振动有多大影响呢？下面就来讨论这个问题图示图示 弹簧等效质量系统示意图弹簧等效质量系统示意图§ §2.32.3 有阻尼单有阻尼单有阻尼单有阻尼单自由度体系自由振动自由度体系自由振动自由度体系自由振动自由度体系自由振动 设质量设质量 的位移用的位移用 表示，弹簧的长度为表示，弹簧的长度为 ，那么，那么距左端为距左端为 的质量为的质量为 的微单元的位移则可假设为的微单元的位移则可假设为 ，设，设 为常数 根据根据Lagrange方程方程则系统的动能和势能可分别表示为则系统的动能和势能可分别表示为§ §2.32.3 有阻尼单有阻尼单有阻尼单有阻尼单自由度体系自由振动自由度体系自由振动自由度体系自由振动自由度体系自由振动 可得可得 此处此处 称为称为等效质量等效质量。

可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到 上式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的等效质上式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的等效质量，当然，前提是假设弹簧按量，当然，前提是假设弹簧按 规律变形的规律变形的如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不同如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不同§ §2.32.3 有阻尼单有阻尼单有阻尼单有阻尼单自由度体系自由振动自由度体系自由振动自由度体系自由振动自由度体系自由振动§2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动简谐激励:激励力函数表示成三角函数的形式……(1)1.1.运动方程的解运动方程的解设设………(2)将(2)式代入(1)式衰减振动的响应设静变形动力放大系数 ：表示振幅相对于静变形的放大倍数稳态响应初位移、初速度引起初位移、初速度引起的自由振动分量的自由振动分量动荷载激起的按结构自振动荷载激起的按结构自振频率振动的分量频率振动的分量,称为称为伴随伴随自由振动自由振动纯受迫振动纯受迫振动2.2.有阻尼受迫振动的特点有阻尼受迫振动的特点(1)(1)稳态受迫振动的频率等于激振频率稳态受迫振动的频率等于激振频率(2)(2)稳态受迫振动的振幅稳态受迫振动的振幅X X与初始条件无关与初始条件无关, , 且不随时间变化且不随时间变化(3)(3)幅频响应特性曲线幅频响应特性曲线: :根据根据 之间之间 的关系式可画出它们之间的关系式可画出它们之间的关系曲线的关系曲线, ,称为幅频响应特性曲线称为幅频响应特性曲线. . (4)(4)当当------------共振共振共振共振增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数(5)激励力可作静载荷处理为避开共振为避开共振为避开共振为避开共振 一般应大于一般应大于一般应大于一般应大于1.251.251.251.25或小于或小于或小于或小于0.75.0.75.0.75.0.75.β λ随随 增大而减小增大而减小阻尼在共振区内影响显著阻尼在共振区内影响显著, ,在共振区外可不计阻尼在共振区外可不计阻尼. .的最大值并不发生在的最大值并不发生在位移滞后于荷载位移滞后于荷载(6)由(7).有阻尼受迫振动时动位移和激振力的相位不同λφ　当　　　　时，　无论阻尼比为何值，位移相应滞后的相位差总是等于 即 这是共振的另一个重要的特征相位共振法可测定系统的固有角频率对于无阻尼的情况：§2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动z=[0.0001,0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,0.9,0.99], w=2, x0=1, v0=0, tf=100 激振频率=0.5,F0=10SDT1_3([0.0001,0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,0.9,0.99],2,0.5,10,100)§2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动拍振拍振现象象当当 时 ,通解通解为 当激振当激振频率与固有率与固有频率率较接近接近时，，设：：拍振拍振现象象由于由于 小量，上式第二小量，上式第二项为零，且零，且t tx(t)练习³书上习题2-31练习³车辆（或飞机降落滑行）以等速驶过一凹坑，一连续凹坑视为简谐激励 (凹坑可视为半波正弦脉冲 ) ，试建立运动方程。

xmkcm§ §2.52.5 周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应周期荷载周期荷载周期荷载周期荷载P P P P( ( ( (t t t t) ) ) )（（（（设周期为设周期为设周期为设周期为T T T Tf f f f）下的稳态反应）下的稳态反应）下的稳态反应）下的稳态反应 周期荷载的周期荷载的周期荷载的周期荷载的FourierFourierFourierFourier展开为展开为展开为展开为 也可写成也可写成其中其中§ §2.52.5 周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应这表明，周期荷载可分解成一个常量荷载和一系列简谐荷这表明，周期荷载可分解成一个常量荷载和一系列简谐荷这表明，周期荷载可分解成一个常量荷载和一系列简谐荷这表明，周期荷载可分解成一个常量荷载和一系列简谐荷载的叠加载的叠加载的叠加载的叠加 在在在在a a a a0 0 0 0/2/2/2/2作用下产生作用下产生作用下产生作用下产生x x x xstststst= = = =a a a a0 0 0 0/2/2/2/2k k k k的静位移。

的静位移的静位移的静位移 在在在在a a a ai i i icoscoscoscos   i i i it t t t和和和和b b b bi i i isinsinsinsin   i i i it t t t简谐荷载下（稳态解）简谐荷载下（稳态解）简谐荷载下（稳态解）简谐荷载下（稳态解）§ §2.52.5 周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应§2.5 周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应● 谐波分析法谐波分析法：将周期激励力展成傅里叶级数的分析方法称为谐波分析法频谱图：以各阶频率为横坐标，做出 离散图形称作频谱图频谱分析法：根据频谱图分析周期激励力的响应状况称作频谱分析法 可可见见，，一一个个周周期期振振动动过过程程可可视视为为频频率率顺顺次次为为基基频频ω1 及及其其整整数数倍倍的的若干或无数若干或无数简谐振动分量简谐振动分量的的合成振动过程合成振动过程 这这些些分分量量依依据据n =1，2，3, … 分分别别称称为为基基频频分分量量、、二二倍倍频频分分量量、、三倍频分量三倍频分量等。

基频分量有时称为等基频分量有时称为基波基波，，n倍频分量则称为倍频分量则称为n次谐波次谐波 周周期期函函数数的的的的频频谱谱总总是是由由若若干干沿沿f轴轴离离散散分分布布的的普普线线组组成成，，普普线线长长度分别代表频率分量的幅值和初相位度分别代表频率分量的幅值和初相位以以f（或（或ω ）为横坐标，）为横坐标， cn和和φn为纵坐标，得到的为纵坐标，得到的cn－－f 和和 φn －－f 图分别称为幅值谱和相位谱，统称为傅里叶频谱图分别称为幅值谱和相位谱，统称为傅里叶频谱§2.5 周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应³例例 -1有一振动波形，经傅里叶分解后，其表达式为³该波形只有两个简谐分量，它的频谱图见图 (b)、(c)§2.5 周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应我们在图(a)中同时给出了该振动量随时间变化的曲线图(a)称为振动的时间历程曲线，为时域曲线；图(b) 及图 (c)则为同一振动量的频域表达法§2.5 周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应例-2已知 一周期性矩形波如图所示,作用在单自由度系统上, 刚度为k, (1)试对其作谐波分析(2) 求稳态响应TF(t)F0-F0t§2.5 周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应§2.5 周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应TF0-F0§2.5 周期激励下的动力响应周期激励下的动力响应作业：2-33、2-41、2-48§ §2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 图图2.6-1 2.6-1 单盘转子示意图单盘转子示意图 图图2.6-2 2.6-2 圆盘的瞬时位置及力圆盘的瞬时位置及力 设有一转子如图设有一转子如图2.6-12.6-1所示，其中所示，其中Oxyz是固定坐标系，无质量的弹是固定坐标系，无质量的弹性轴的弯曲刚度为性轴的弯曲刚度为EJ ，在跨中安装有质量为，在跨中安装有质量为m的刚性薄盘。

的刚性薄盘 由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为e e 当转子以等角速度转子以等角速度ωω自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生动挠度，并随之带动圆盘公转动挠度，并随之带动圆盘公转由材料力学可知，对于图由材料力学可知，对于图2.6-32.6-3所示的模型所示的模型图图2.6-32.6-3§ §2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 （（2-1））（（2-2））设圆盘在瞬时设圆盘在瞬时t 的状态如图的状态如图2.6-2所示，这时弹性轴因有动挠度所示，这时弹性轴因有动挠度 而对圆盘的作用力为而对圆盘的作用力为 ，它在坐标轴上的投影分别为，它在坐标轴上的投影分别为 根据质心运动定理，可得根据质心运动定理，可得 由图由图2.6-42.6-4的几何关系知的几何关系知 对上式求两次导数，可得对上式求两次导数，可得 设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为 图图2.6-42.6-4§ §2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 （（2-3））（（2-4））（（2-5））（（2-6））把（把（2-62-6）代入（）代入（2-42-4），得到转子模型的运动微分方程），得到转子模型的运动微分方程 可改写为可改写为 式中式中 （（2-82-8））把把（（2-82-8））式式与与有有阻阻尼尼单单自自由由度度系系统统的的受受迫迫振振动动运运动动方方程程作作一一比比较较，，显显然然两者在数学形式上是完全相同的。

两者在数学形式上是完全相同的§ §2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 （（2-7））把（把（2-92-9）代入（）代入（2-82-8）中，得到）中，得到 由此可见，由此可见， O'点绕固定坐标系的点绕固定坐标系的Oz 轴在作圆周运动轴在作圆周运动因此引用其求稳态解的方法，设因此引用其求稳态解的方法，设§ §2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 （（2-9））（（2-10）） 可见圆周运动的半径就是轴的动挠度可见圆周运动的半径就是轴的动挠度r ，角速度等于轴，角速度等于轴的自转角速度的自转角速度ω ，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在相，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在相位差位差φ 即有 （（2-122-12））对照几何关系对照几何关系 § §2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 （（2-11））根据（根据（2-102-10）式可绘出在不同）式可绘出在不同ζ 值时，值时，r和和φ 随随ω值变化的曲线，分值变化的曲线，分别如图别如图2.6-52.6-5与图与图2.6-62.6-6所示图图2.6-52.6-5 转子动挠度的幅值转子动挠度的幅值-转速曲线转速曲线(左左)图图2.6-62.6-6 转子动挠度的相位转子动挠度的相位-转速曲线转速曲线(右右)§ §2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念  由由于于φ的的存存在在，，在在一一般般情情况况下下，，O 、、O'和和 C三三点点并并不不在在一一条条直直线线上上，，而而总总是是成成一一个个三三角角形形 ΔOO'C ，，而而且且ΔOO'C 的的形形状状在在转转子以等角速度子以等角速度 ω旋转过程中保持不变。

旋转过程中保持不变 当当ω＞＞＞＞ωn时时，，φ→π，，这这三三点点又又近近似似在在一一直直线线上上，，但但点点C 位位于于 O和和 O'之之间间，，即即所所谓谓圆圆盘盘的的轻轻边边飞飞出出，，这这种种现现象象称称为为自自动动定定心心，，也也叫叫偏心转向偏心转向 只只有有当当 ω＜＜＜＜ ωn时时，，φ→0 ，，这这三三点点才才近近似似在在一一直直线线上上，， O '点点位位于于 O和和 C之间，即所谓圆盘的重边飞出之间，即所谓圆盘的重边飞出§ §2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念  根根据据国国际际标标准准，，临临界界转转速速定定义义为为：：系系统统共共振振时时发发生生主主响响应应的的特特征征转转速，在这里就是使动挠度速，在这里就是使动挠度 取得极值的转速，取得极值的转速，r于是可利用条件于是可利用条件（（2-132-13））来确定临界转速，并以来确定临界转速，并以ωCr 表示由（（2-122-12））式得式得由此解得由此解得 （（2-142-14））§ §2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图2.6-72.6-7中也可以看出，各曲线的峰值都偏在中也可以看出，各曲线的峰值都偏在ω= ωn 线的右边，这一点线的右边，这一点应特别注意。

应特别注意 图图2.6-72.6-7 转子动挠度的幅值转子动挠度的幅值-转速曲线转速曲线§ §2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念  实实际际转转子子系系统统总总存存在在一一定定阻阻尼尼，，动动挠挠度度不不会会无无限限大大，，但但比比一一般般转转速速下下的的动动挠挠度度大大得得多多，，足足以以造造成成转转子子破破坏坏，，因因此此，，工工程程上上要要严严格格避避免免转转子子在在临临界界转转速速附附近近工工作作可可见见，，正正确确的的临临界界转转速速分分析析计计算算，，在转子设计和处理实际问题中都很重要在转子设计和处理实际问题中都很重要 对于小阻尼对于小阻尼情况情况 : :（（2-152-15））  对对于于无无阻阻尼尼的的理理想想情情况况，，即即ζ=0 ，，在在临临界界转转速速时时，，动动挠挠度度r 将将达达到到无无限限大大而而相相位位角角在在临临界界转转速速之之前前为为零零，，之之后后为为π ，，即即在在临临界界转速前后有相位突变，转速前后有相位突变， O 、、 O'和和 C三点始终在一条直线上三点始终在一条直线上§ §2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念  为为了了形形象象地地表表示示自自动动定定心心（（偏偏心心转转向向））及及在在临临界界转转速速时时的的相相位位差差 ，把，把 O、、O‘及及 C三点在不同转速时的相对位置表示在图三点在不同转速时的相对位置表示在图2.6-8上。

上 图图2.6-8 2.6-8 在不同转速时的偏心位置在不同转速时的偏心位置 § §2.62.6 转子系统临界转速的概念转子系统临界转速的概念 。