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高中数学知识总结高中数学知识总结一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 ， 无序性 集合元素的互异性：如： ， ，求 ；（2）集合与元素的关系用符号 ， 表示3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集；有理数集、实数集 4）集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 注意：区分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ；；（5）空集是指不含任何元素的集合 （、和的区别；0 与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集注意：条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况如： ，如果 ，求 的取值二、集合间的关系及其运算（1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系2） ； ；（3）对于任意集合 ，则：① ； ； ；② ； ；； ；③ ； ；（4）①若 为偶数，则 ；若 为奇数，则 ；②若 被 3 除余 0，则 ；若 被 3 除余 1，则 ；若 被 3 除余 2，则 ；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。

2） 中元素的个数的计算公式为： ；（3）韦恩图的运用：四、 满足条件 ， 满足条件 ，若 ；则 是 的充分非必要条件 ；若 ；则 是 的必要非充分条件 ；若 ；则 是 的充要条件 ；若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；注意：“若 ，则 ”在解题中的运用，如：“ ”是“ ”的 条件六、反证法：当证明“若 ，则 ”感到困难时，改证它的等价命题“若 则 ”成立，步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题适用与待证命题的结论涉及“不可能” 、 “不是” 、 “至少” 、 “至多” 、“唯一”等字眼时正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个否定正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有 n 个 任意两个否定二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：如：若 ， ；问： 到 的映射有 个， 到 的映射有 个；到的函数有个，若，则 到 的一一映射有 个。

函数 的图象与直线 交点的个数为 个二、函数的三要素： ， ， 相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：（2）函数定义域的求法：① ，则 ； ② 则 ；③ ，则 ； ④如： ，则 ；⑤含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数 的定义域是 ，求 的定义域⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定如：已知扇形的周长为 20，半径为，扇形面积为，则；定义域为3）函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域求下列函数的值域：① （2 种方法） ；② （2 种方法） ；③ （2 种方法） ；三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）导数法（适用于多项式函数）复合函数法和图像法应用：比较大小，证明不等式，解不等式奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较 f(x) 与 f(-x)的关系f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法应用：把函数值进行转化求解周期性：定义：若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足：f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期其他：若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足：f(x+a)=f(x－a),则2a 为函数 f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数如：把函数 y＝f(2x)经过平移得到函数 y＝f(2x＋4)的图象ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意义。

对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于 y 轴对称y=f(x)→y=－f(x) ,关于 x 轴对称y=f(x)→y=f|x|,把 x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象关于 x 轴对称y=f(x)→y=|f(x)|把 y 轴右边的图象保留，然后将 y 轴右边部分关于 y 轴对称 （注意：它是一个偶函数）伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换一个重要结论：若 f(a－x)＝f(a+x)，则函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称；如： 的图象如图，作出下列函数图象：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） 五、反函数：（1）定义：（2）函数存在反函数的条件： ；（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；（4）求反函数的步骤：①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域） 5）互为反函数的图象间的关系： ；（6）原函数与反函数具有相同的单调性；（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。

如：求下列函数的反函数： ； ；七、常用的初等函数：（1）一元一次函数： ，当 时，是增函数；当 时，是减函数；（2）一元二次函数：一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ；顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；①一元二次函数的单调性：当 时： 为增函数； 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数；②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为 的形式，Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；有三个类型题型：(1)顶点固定，区间也固定如：(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．③二次方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程的两根为；则：根的情况等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根充要条件注意：若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。

3）反比例函数：（4）指数函数：指数运算法则： ； ； 指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1） ，单调性与 a 的值有关，在解题中，往往要对 a 分 a>1 和 0o,a≠1) 图象恒过点（1，0） ，单调性与 a 的值有关，在解题中，往往要对 a 分 a>1 和 00，则即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象） ，直接比较大小④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数若 ，则 （当且仅当 时取等号）基本变形：① ； ；②若 ，则 ，基本应用：①放缩，变形；②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大当 （常数） ，当且仅当 时， ；当 （常数） ，当且仅当 时， ；常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数 的最小值 ②若正数 满足 ，则 的最小值 三、绝对值不等式：注意：上述等号“＝”成立的条件；四、常用的基本不等式：（1）设 ，则 （当且仅当 时取等号）（2） （当且仅当 时取等号） ； （当且仅当 时取等号）（3） ； ；五、证明不等式常用方法：（1）比较法：作差比较：作差比较的步骤：⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小2）综合法：由因导果3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……（4）反证法：正难则反5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如： ；⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如： ；⑷利用常用结论：Ⅰ、 ；Ⅱ、 ； （程度大）Ⅲ、 ； （程度小）（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：已知 ，可设 ；已知 ，可设 ( )；已知 ，可设 ；已知 ，可设 ；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；六、不等式的解法：（1）一元一次不等式：Ⅰ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ；Ⅱ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 ，则 ；（2）一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对进行讨论：（5）绝对值不等式：若 ，则 ； ；注意：(1).几何意义： ： ； ： ；(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若则；②若 则 ；③若 则 ；(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。

4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分8）解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△） ，比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要分、 、 讨论四、不等式一、不等式的基本性质：注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题2)注意课本上的几个性质，另。