新教材2022学年北师大版数学必修第一册学案-2.3-第1课时函数的单调性.doc

3 函数的单调性和最值 新课程标准解读 核心素养 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性 数学抽象 2.理解单调性的作用和实际意义 逻辑推理、数学运算 3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、最小值，理解它们的作用和意义 数学抽象、数学运算 第 1 课时 函数的单调性 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯， 对人类的记忆牢固程度进行了有关研究 他经过测试，得到了以下一些数据： 时间间隔 t 刚记忆完毕 20 分钟后 60 分钟后 89小时后 1天后 2天后 6天后 一个月后 记忆量 y (百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明，记忆量 y 是时间间隔 t 的函数艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线” 问题 当时间间隔 t 逐渐增大，你能看出对应的函数值 y 有什么变化趋势？ 知识点一 增函数、减函数的概念 设函数 yf(x)的定义域是 D： (1)如果对于任意的 x1，x2D，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就称函数 yf(x)是增函数特别地，当 I 是定义域 D 上的一个区间时，也称函数 yf(x)在区间 I 上单调递增 (2)如果对于任意的 x1，x2D，当 x1f(x2)，那么就称函数 yf(x)是减函数特别地，当 I 是定义域 D 上的一个区间时，也称函数 yf(x)在区间 I 上单调递减 1对区间 D 的要求 函数的单调性是函数在某个区间上的性质， 这个区间可以是整个定义域， 也可以是定义域的一部分 2x1，x2的三个特征 (1)同区间性，即 x1，x2D； (2)任意性，即不可用区间 D 上的两个特殊值代替 x1，x2； (3)有序性，即需要区分大小，通常规定 x1x2. 3自变量的大小与函数值的大小关系 (1)单调递增：x1x2f(x1)f(x2)； (2)单调递减：x1f(x2) 下列函数 f(x)中，满足对任意 x1，x2(0，)，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)的是_(填序号) f(x)x2；f(x)1x； f(x)|x|；f(x)2x1. 答案： 知识点二 函数的单调性与单调区间 如果函数 yf(x)在区间 I 上单调递增或单调递减， 那么就称函数 yf(x)在区间 I 上具有单调性，区间 I 为函数 yf(x)的单调区间 1函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数如函数 y1x(x0)在区间(，0)和(0，)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性 2 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时， 不能用“”连接， 而应该用“和”或“， ”连接如函数 y1x(x0)在区间(，0)和(0，)上都是减函数，不能认为 y1x(x0)的单调减区间为(，0)(0，) 1区间 A 一定是函数的定义域吗？ 提示：不一定，可能是定义域的一部分 2函数 y1x在定义域上是减函数吗？ 提示：y1x在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(，0)，(0，) 1下列函数中，在 R R 上是增函数的是( ) Ay|x| Byx Cyx2 Dy3x 解析：选 B 根据题意，依次分析选项：对于 A，y|x|x，x0，x，x0，在 R R 上不是增函数，不符合题意；对于 B，yx 是正比例函数，在 R R 上是增函数，符合题意；对于 C，yx2是二次函数，在 R R 上不是增函数，不符合题意；对于 D，y3x是反比例函数，在 R R 上不是增函数，不符合题意 2如图所示的是定义在区间5，5上的函数 yf(x)的图象，则函数的单调递减区间是_，在区间_上是增函数 解析：观察图象可知单调递增区间为5，2，1，3，单调递减区间为2，1，3，5 答案：2，1和3，5 5，2和1，3 3若函数 f(x)ax3 在 R R 上单调递增，则 a 的取值范围为_ 答案：(0，) 利用定义判断或证明函数的单调性 例 1 判断函数 f(x)1x21在区间(1，)上的单调性，并用单调性的定义证明 解 函数 f(x)1x21在区间(1，)上是减函数 证明如下： 任取 x1，x2(1，)，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)1x2111x221 x22x21（x211）（x221）（x2x1）（x2x1）（x211）（x221）. x10， 又 x1，x2(1，)， x2x10，x2110，x2210. （x2x1）（x2x1）（x211）（x221）0， 即 f(x1)f(x2) f(x)在区间(1，)上单调递减 利用定义证明函数单调性的步骤 跟踪训练 1(多选)下列函数在(，0)上为增函数的是( ) Ay|x|1 By|x|x Cyx2|x| Dyxx|x| 解析： 选 CD y|x|1x1(x0)在(， 0)上为减函数； y|x|x1(x0)在(，0)上既不是增函数也不是减函数；yx2|x|x(x0)在(，0)上是增函数；yxx|x|x1(x0)在(，0)上也是增函数，故选 C、D. 2利用单调性的定义，证明函数 yx2x1在(1，)上是减函数 证明：任取 x1，x2(1，)，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)x12x11x22x21x2x1（x11）（x21）. 因为1x10，x110，x210， 所以x2x1（x11）（x21）0，即 f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2) 所以 yx2x1在(1，)上是减函数. 求函数的单调区间 例 2 (链接教科书第 63 页 B 组 2 题)已知函数 f(x)x24|x|3，xR R. (1)画出函数的图象； (2)根据图象写出它的单调区间 解 (1)f(x)x24|x|3x24x3，x0，x24x3，x0. 图象如图所示： (2)由图象可知函数 f(x)的单调递增区间为(2，0)，(2，)，单调递减区间为(，2，0，2 求函数单调区间的 2 种方法 (1)定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解； (2)图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间 跟踪训练 求函数 f(x)1x1的单调减区间 解：函数 f(x)1x1的定义域为(，1)(1，)， 设 x1，x2(，1)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)1x111x21x2x1（x11）（x21）. 因为 x1x20，x110，x210，即 f(x1)f(x2) 所以函数 f(x)在(，1)上单调递减，同理函数 f(x)在(1，)上单调递减 综上，函数 f(x)的单调递减区间是(，1)，(1，). 函数单调性的应用 例 3 (1)若函数 f(x)x22(a1)x3 在区间(，3上是增函数，则实数 a 的取值范围是_； (2)已知函数 yf(x)是(，)上的增函数，且 f(2x3)f(5x6)，则实数 x 的取值范围为_ 解析 (1)f(x)x22(a1)x3 的开口向下，要使 f(x)在(，3上是增函数，只需(a1)3，即 a4.实数 a 的取值范围为(，4 (2)f(x)在(，)上是增函数， 且 f(2x3)f(5x6)， 2x35x6，即 x0，5x60，2x332. x 的取值范围为32， . 1利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上； (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域 2已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围 跟踪训练 1若函数 f(x)在(，1上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) Af32f(1)f(2) Bf(1)f32f(2) Cf(2)f(1)f32 Df(2)f32f(1) 解析：选 D f(x)在(，1上是增函数， 且2321， f(2)f32f(1)故选 D. 2若 f(x)是定义在0，)上的减函数，则不等式 f(x)2x8， 解得83x4. 答案：83，4 复合函数 yf(g(x)的单调性 典例 已知函数 f(x)2x1，x2，6 (1)试判断此函数在 x2，6上的单调性； (2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤 提示：(1)函数 f(x)2x1可分解为函数 y2u和函数 ux1. 因为 x2，6，所以 u1，5，显然函数 ux1 在 x2，6上单调递增，函数 y2u在 u1，5上单调递减，由复合函数的单调性，知 f(x)2x1在 x2，6上单调递减 (2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性 结论 复合函数的单调性：一般地，对于复合函数 yf(g(x)，单调性如表所示，简记为“同增异减”. g(x) f(x) f(g(x) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 迁移应用 求函数 f(x) 82xx2的单调区间 解：由题意可知 82xx20，解得4x2， 函数 f(x)的定义域为4，2 设 y u，u82xx2. 二次函数 u82xx2(x1)29 的单调递增区间是(，1，单调递减区间是(1，) 函数 yf(x)的单调递增区间是4，1，单调递减区间是(1，2 1函数 f(x)在 R R 上是减函数，则有( ) Af(3)f(5) Df(3)f(5) 解析：选 C 因为函数 f(x)在 R R 上是减函数，3f(5) 2函数 f(x)x22x3 的单调减区间是( ) A(，1) B(1，) C(，2) D(2，) 解析：选 B 易知函数 f(x)x22x3 是图象开口向下的抛物线，其对称轴为 x1，所以其单调减区间是(1，) 3若函数 yax 与 ybx在(0，)上都单调递增，则函数 yax2bx 在(0，)上( ) A单调递增 B单调递减 C先增后减 D先减后增 解析：选 A 由于函数 yax 与 ybx在(0，)上均单调递增，故 a0，b0，故二次函数 f(x)ax2bx 的图象开口向上， 且对称轴为直线 xb2a0 B(x1x2)f(x1)f(x2)0 Cf(a)f(x1)x2，则 f(x1)f(x2)，故 C 不正确；对于 D，因为 f(x)在区间a，b上单调，且 x1x2，所以 f(x1)f(x2)，故 D 正确 5 已知函数 yx24ax 在区间1， 2上单调递减， 则实数 a 的取值范围是_ 解析：根据题意，知函数 yx24ax 为二次函数，且开口向下，其对称轴为 x2a， 若其在区间1，2上单调递减，则 2a1， 所以 a12，即 a 的取值范围为，12. 答案：，12 。