傅里叶光学15函数正交展开和级数.ppt

§1-5 函数的正交展开和傅里叶级数一、矢量空间与函数空间（一）矢量空间1.三维矢量正交单位矢量：维为n维空间正交的单位矢量（正交坐标系）n维空间n个单位正交构成的正交坐标系展开系数 的求法：两边同乘即：非单位矢量（二）函数（信号）空间1、设有无穷个正交函数 构成函数空间正交函数展开系数 的求法： 两边同乘 积分若 ，称正交归一化空间和正交归一化坐标系2、若正交函数为复函数正交性（三）常用正交函数坐标系•三角函数空间•walsh函数空间•sinc函数空间•贝赛尔函数空间二、傅里叶级数（一）周期函数（二）三角级数1.定义：若 ，为正弦级数；若 ，为余弦级数只有周期函数能用三角级数展开）2.性质（1）周期性2T（2）三角函数正交性（三）傅里叶级数1、f(x)是周期为2T的函数（1） 的计算：2、系数 为各成分占得比重、计算（2） 的计算：利用正交函数的性质（四）函数的周期性和奇偶性在定积分中的应用1.周期函数的积分性质设周期函数f(x)的周期为2T，则在长为2T的任意区间上的定积分都相等。

2Tf(x)x(1)图形分析(2)证明令令2. 函数的奇偶性（1）奇 偶（2）若周期函数为奇函数，其傅氏展开只包含正弦项若周期函数为偶函数，其傅氏展开只包含余弦项若非奇非偶，3.奇偶函数的对称积分(积分限相对于原点是对称的)（1）奇函数的对称积分为零a不一定是周期）（2）偶函数的对称积分等于正限积分的二倍（3）n个奇函数的代数和仍为奇函数（4）n个偶函数的代数和仍为偶函数（5）1个奇函数与一个偶函数相乘（或相除），结果为奇函数（6）两个奇函数相乘（或相除），结果为偶函数（7）n个偶函数相乘（或相除），结果为偶函数（8）m个奇函数n个偶函数相乘（或相除），结果为取决于m是奇数还是偶数（9）奇函数和偶函数相加（减），结果为非奇非偶（五）傅里叶级数的另一种表示abab（表示某种振动或某种谐波分量）：初位相：振幅（六）傅里叶级数的复数表示欧拉公式：令的求法：（七）举例（傅氏展开先判断奇偶性）1.周期为2T，f(x)=x,-T

（八）频谱的概念（频率）为谐频（此为空间频谱，x→t为时间频率）的曲线叫振幅频谱图位相频谱图特点：离散的，具有谐波性、收敛性(n)012345(n)-11-220-4 -334振幅频谱(n)-11-220-4 -334位相频谱特点：频率范围从 出现负频概念；各谐波的分量减小一半；各谐波位相值不变，但正负频的位相方向相反；二者差异只是形式上的正负频的解释：平面偏振，可分为左右弦振动（圆偏振）， 左弦为正频，右弦为负频xy正频正频负频负频例：周期矩形脉冲f(t)A0t-TT2T当n=0时，作图：设振幅频谱 (n)0n15105复振幅频谱图： →图出现负频，振幅减小一半，并表示位相Ⅰ、Ⅱ）（Ⅲ、Ⅳ）n0510-5。