小学奥数16数阵图教案资料.doc

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除1.10.5 数阵图1.10.5.1 基础知识数阵是由幻方演化出来的另一种数字图 幻方一般均为正方形图中纵、横、 对角线数字和相等数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合变幻多姿，奇趣迷人一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和2.根据“和相等” ，列出关系式，找出关键数——重复使用的数3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的1.10.5.2辐射型数阵例 1将 1～ 5 五个数字， 分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是 10解：已给出的五个数字和是：1＋ 2＋3＋ 4＋ 5＝ 15题中要求横、竖每条线上数字和都是 10，两条线合起来便是 20 了 20－ 15＝ 5，怎样才能增加 5 呢？因为中心的一个数是个重复使用数。

只有 5 连加两次才能使五个数字的和增加 5，关键找到了，中心数必须填 5确定中心数后，按余下的 1、 2、 3、 4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是 10 便可例 2 将 1～ 7 七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除解：图中共有 3 条线，若每条线数字和相等， 三条线的数字总和必为 3 的倍数设中心数为 a，则 a 被重复使用了 2 次即， 1＋ 2＋ 3＋ 4＋ 5＋ 6＋ 7＋ 2a＝ 28＋ 2a，28＋ 2a 应能被 3 整除 28＋2a） ÷3＝28÷3＋2a÷3其中 28÷3＝ 9 余 1，所以 2a÷3 应余 2由此，便可推得 a 只能是 1、 4、 7 三数当 a＝ 1 时， 28＋2a＝ 30 30 ÷3＝ 10，其他两数的和是 10－ 1＝ 9，只要把余下的 2、3、4、5、 6、 7，按和为 9 分成三组填入两端即可同理可求得 a＝4、 a＝ 7 两端应填入的数例 3 将从 1 开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等解：图中共有三条线，若每条线数字和相等， 三条线的数字总和必为 3 的倍数。

设中心数为 a，a 被重复使用了两次， 即：1＋ 2＋ 3＋ ＋ 10＋ 2a＝55＋ 2a，55＋2a 应能被 3 整除55＋ 2a） ÷3＝ 55÷3＋ 2a÷3其中， 55÷3＝ 18 余 1，所以 2a÷3 应余 2由此，可推知 a 只能在 1、4、7 中挑选在 a＝1 时， 55＋ 2a＝ 57，57÷3＝ 19，即中心数若填 1，各条线上的数字和应为 19但是除掉中心数 1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即： 9＋ 7＋ 2＝ 18，8＋ 6＋ 4＝ 18，7＋ 5＋ 3＝ 15 所以， a 不能填 1经试验， a＝7 时，余下的数组合为 12（ 19－7＝ 12），也不能满足条件因此，确定 a 只能填 4例 4 将 1～ 9 九个数字，填入下图各○中，使纵、横两条线上的数字和相等word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除解： 1～ 9 九个数字和是： 1＋ 2＋ 3＋ ＋ 9＝ 5×9＝45，把 45 平分成两份： 45÷2＝ 22余 1这就是说， 若使每行数字和为 23，则需把 1 重复加一次， 即中心数填 1；若使数字和为24，中心数应填 3 。

总之， 因 45÷2 余数是 1，只能使 1、3、5、7、9 各个奇数重复使用，才有可能使横、 竖行的数字和相等 因而，此题可有多种解法但中心数必须是 9 以内的奇数例 5 将 1～ 11 十一个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和相等解：图中共有五条线段， 全部数字的总和必须是 5 的倍数，每条线上的数字和才能相等1～ 11 十一个数字和为 66，66÷5＝ 13 余 1，必须再增加 4，可使各线上数字和为 14共五条线，中心数重复使用 4 次，填 1 恰符合条件此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数 1，所得的和必须是 5 的倍数据此，中心数填 6、 11 均可得解1.10.5.3 封闭型数阵例 1 把 2、3、4、5、6、7 六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是 12解：要使三角形每边上的数字和都是 12，则三条边的数字和便是 12×3＝36，而 2＋ 3＋4＋ 5＋ 6＋ 7＝ 27，36 与 27 相差 9三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是 9，才能符合条件确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！这题还可有许多解法，上图只是其中一种。

例 2 把 1～ 9 九个数字，分别填入下图○中，使每边上四个数的和都是 21解：要使三角形每条边上的数字和是21，则三条边的数字和便是：21×3＝ 63而 1～9 九个数字的和只有 45 45 比 63 少 18，只有使三角形三个顶角的数字和为18，word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除重复使用两次，才能使总和增加 18所以应确定顶点的三个数 下面是填法中的一种 确定了顶角的数后， 其他各数便容易了例 3 下图是四个互相联系的三角形把 1～ 9 九个数字，填入○中，使每个三角形中数字的和都是 15解：每个三角形数字和都是 15，四个三角形的数字和便是： 15×4＝ 60，而 1～ 9 九个数字和只有 45 45 比 60 少 15怎样才能使它增加 15 呢？靠数字重复使用才能解决中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字都被重复使用两次因此，只要使中间的一个三角形数字和为 15，便可以符合条件因此，它的三个顶角数字，可以分别为： 1、 9、 5 2、 8、 5 2、7、 6 4、6、 5 及 2、 9、 4 3、 8、 4 3、7、 5 8、6、 1把中间的三角形各顶角数字先填出， 其他各个三角形便容易解决了。

前页下图是其中的一种例 4 把 2～ 10 九个数字，分别填入下图○中，使每条直线上的三个数和为 15解： 2～ 10 九个数字的和为： 2＋ 3＋4＋ ＋ 10＝ 6×9＝ 54若排成每个三角形每边的数字和都是 15，图中含有每边都三个数字的三角形有两个，共六条边，数字总和应是 15×6＝ 90 54 比 90 少 36在外围的六个数都被重复使用了两次， 它们又分属于两个三角形 所以， 每个三角形三个顶角的数和应为： 36÷2＝18这样，便可以先填外三角形三个顶角的数三个数和为 18 的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一组填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角的数已知，其他各数便容易填写了上面是填法中的一种例 5 把 1～ 10 十个数字，分别填入下图○中，使每个三角形三个顶角的三个数字和相等word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除解：图中有三个三角形， 顶角数字互不联系， 中心的一个数独立于各个三角形之外因此，要使各三角形顶角的数字和相等去掉中心数后，数字总和应是 3 的倍数，而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复如：以 10 为中心数，可填为如上图样例 6 将 1～ 12 分别填入下图○中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。

解：图中共有四个三角形， 共有六个边 1～12 的数字和是 78每条边上的数字和应为：78÷6＝ 13这样，我们可以推想：因为内部的三条边都被重复计算两次，只要每个数增加 1，十二个数的总和便增加 6，它们同样可以填出来，因而，本题的解法是很多的1111123577、把、、、、、 、 、、 九个数分别填入下图○中，使每条直线上的三个234612341212数的和都相等解：九个分数排成方阵， 使纵、横、对角线的三个数和相等， 这已经符合幻方的要求了，因此，可以按幻方的制作方法求解这十二个分数，按从小到大的顺序排列是：11115172312、、、、、 、、 、6431221234把它们按序排列为斜方形：将上、下两数，左、右两数对调，再把中间四数向外拉出，word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除这样重新组成的数阵，便是求得的解了例 8 将 1～ 8 八个数字，分别填入下图○中，使每个小三角形顶点上三数之和为12解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都是 12，数字总和便是 12×4＝48，可是 1～ 8 八个数字总和只有 36 36 比 48 少 12只有靠共用顶角上数的重复使用，才能解决。

因此，必须把四个公用顶角的数字和填成 12把 1～ 8 八个数四个一组， 和为 12的有：6＋ 3＋2＋ 15＋ 4＋2＋ 1上述两组中，经验证，只有 6＋ 3＋ 2＋ 1 可。