曲线积分和曲面积分的计算.doc

第21章 曲线积分和曲面积分的计算教学目的：教学重点和难点：§1 第一类曲线积分的计算 设函数在光滑曲线上有定义且连续，的方程为则特别地，如果曲线为一条光滑的平面曲线，它的方程为，，则有例：设是半圆周, 例：设是曲线上从点到点的一段，计算第一类曲线积分 例：计算积分，其中是球面被平面截得的圆周例：求，此处为连接三点，，的直线段§2 第一类曲面积分的计算一 曲面的面积〔1〕设有一曲面块，它的方程为具有对和的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影为可求面积的则该曲面块的面积为〔2〕假设曲面的方程为, 令，，，则该曲面块的面积为例：求球面含在柱面内部的面积例：求球面含在柱面内部的面积二 化第一类曲面积分为二重积分〔1〕设函数为定义在曲面上的连续函数曲面的方程为具有对和的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影为可求面积的〔2〕设函数为定义在曲面上的连续函数假设曲面的方程为令，，，则。

例：计算，是球面，例：计算，其中为螺旋面的一局部：注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因例：I=，是球面，球心在原点，半径为§3 第二类曲线积分一 变力做功和第二类曲线积分的定义1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得2. 第二型曲线积分的定义定义1 设是一条光滑或逐段光滑曲线，且设是定义在上的有界函数，将沿确定方向从起点开场用分点分成个有向弧段，直至终点在每一弧段 上任取一点，作和式：其中为起点，为终点设，这里表示有向线段的长度假设当时，和有极限，且它与的分法无关，也与点的选择无关，则称为沿曲线按所述方向的第二类曲线积分，记作 或 注：如果向量，则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征注：在平面情况下，假设一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所围成的区域靠近这人的局部总在他的左方，则这个方向就算作正向，否则就算作负向这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无关的。

二 第二类曲线积分的计算设曲线自身不相交，其参数方程为：且设是光滑的设当参数从调地增加到时，曲线从点按一定方向连续地变到点设函数定义在曲线上，且设它在上连续〔*〕注：〔*〕积分下限必须对应积分所沿曲线的起点，上限必须对应终点注：如果向量，则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为例：计算积分, L的两个端点为A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合, 路径为〔1〕直线段AB ；〔2〕抛物线；〔3〕折线闭合路径A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ) 例：计算积分, 这里L : 〔1〕沿抛物线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 )；〔2〕沿直线从点O( 0 , 0 )到点B( 1 , 2 )；〔3〕沿折线封闭路径O(0,0)A(1,0 )B(1,2 ) O(0,0). 例：计算第二型曲线积分I = , 其中L是螺旋线，，从到的一段三 两类曲线积分的联系 第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的，由于都是沿曲线的积分，两者之间又有密切联系两者之间的联系式为例：证明：对于曲线积分的估计式为利用这个不等式估计：,并证明。

例：设平面区域由一连续闭曲线所围成，区域面积设为，推导用曲线积分计算面积的公式为：§4 第二类曲面积分一 曲面的侧的概念1．单侧曲面与双侧曲面在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子2．曲面的上侧和下侧，外侧和内侧双侧曲面的定向:曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为 ,则上侧法线方向对应第三个分量, 即选“+〞号时，应有，亦即法线方向与轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向. 封闭曲面分内侧和外侧.二第二类曲面积分的定义先讨论由显式方程表示的无重点的光滑曲面,并设在平面上的投影为边界由逐段光滑曲线所围成的区域设选定了曲面的一侧，从而也确定了它的定向 现在将有向曲面以任何方法分割为小块设为在平面上的投影，从而也得到区域的一个相应分割如果取的是上侧，这时所有算作正的如取下侧，这时所有算作负的设有界函数定义在上，在每一小块任取一点，作和式其中表示的面积由上述所见，是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决定的设为的致敬，记假设当时，有确定的极限，且与曲面分割的方法无关，也点的选择无关，则称为沿曲面的所选定的一侧上的第二类曲面积分，记为。

注：有时也会碰到几个积分连在一起的情形，例如：注：如果沿曲面的另一侧积分，则所得的值应当变号三 两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系设为曲面的指定法向, 则. 定理1 设是定义在光滑曲面D上的连续函数, 以的上侧为正侧(即), 则有.类似地, 对光滑曲面D, 在其前侧上的积分.对光滑曲面 D, 在其右侧上的积分.计算积分时, 通常分开来计算三个积分, , .为此,分别把曲面投影到YZ平面, Z*平面和*Y平面上化为二重积分进展计算.投影域的侧由曲面的定向决定. 推论设,,是定义在光滑曲面D上的连续函数,则 =曲面的方向为上侧, 则等式前取“＋〞号; 曲面的方向为下侧, 则等式前取“－〞号.例：计算积分,其中是球面 在局部取外侧 例：计算积分，为球面取外侧. 解：对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的外侧, 则有 : ;: .因此, =+ . 对积分, 分别用和记右半球面和左半球面的外侧, 则有: ;: .因此, +. 对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 则有: ;: .因此, =+ .综上, =.. z。