2018年高考真题——理科数学(全国卷II)含答案.pdf

1 绝密启用前 2018 年高考真题理科数学（全国卷II）含答案 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2作答时，将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 1 12i 12i A 43 i 55 B 43 i 55 C 34 i 55 D 34 i 55 2已知集合 22 3AxyxyxyZZ， ， ，则A中元素的个数为 A9 B8 C5 D4 3函数 2 ee xx fx x 的图像大致为 4已知向量 a，b满足 |1a ， 1ab ，则(2)aab A4 B3 C2 D0 5双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为3 ，则其渐近线方程为 A2yxB3yxC 2 2 yxD 3 2 yx 6在ABC中， 5 cos 25 C ， 1BC ， 5AC ，则AB 2 A4 2B 30 C 29 D2 5 7为计算 11111 1 23499100 S ，设计了右侧的程序框图，则在 空白框中应填入 A 1ii B 2ii C3ii D 4ii 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数 可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是 A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 9在长方体 1111 ABCDA BC D 中， 1ABBC ， 1 3AA，则异面直线1 AD 与1 DB 所成角的余弦值为 A 1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 10若 ( )cossinf xxx在, a a 是减函数，则 a的最大值是 A 4 B 2 C 3 4 D 11已知 ( )f x 是定义域为(,) 的奇函数，满足(1)(1)fxfx 若(1)2f，则 (1)(2)(3)(50)ffff A50B0 C2 D50 12已知 1 F ， 2 F 是椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ： 的左，右焦点，A是 C 的左顶点，点P在过A且斜率 为 3 6 的直线上， 12 PF F 为等腰三角形， 12 120F F P ，则C的离心率为 A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 4 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。

13曲线 2ln(1)yx在点 (0, 0) 处的切线方程为_ 14若 , x y满足约束条件 250 230 50 xy xy x ， ， ， 则 zxy 的最大值为 _ 开始 0,0NT SNT S输出 1i 100i 1 NN i 1 1 TT i 结束 是否 3 15已知 sincos1 ，cos sin0 ，则sin( ) _ 16已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 7 8 ，SA与圆锥底面所成角为45 ，若SAB的面积 为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为_ 三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答第22、23 为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分 17（ 12 分） 记 n S 为等差数列 n a 的前 n项和，已知 1 7a ，3 15S （1）求 na的通项公式； （2）求 n S ，并求n S 的最小值 18（ 12 分） 下图是某地区2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y与时间变量t的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t的值依次为1 217， ， ， ）建立模型： ?30.413.5yt ；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为 1 27， ， ， ）建立模型：?9917.5yt （1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（ 12 分） 设抛物线 2 4Cyx：的焦点为F，过F且斜率为 (0)k k的直线l与C交于 A，B两点， | |8AB （1）求l的方程； （2）求过点A，B且与 C的准线相切的圆的方程 20（ 12 分） 4 如图，在三棱锥PABC中， 2 2ABBC ，4PAPBPCAC，O为AC的中点 （1）证明：PO平面ABC； （2）若点 M在棱 BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面 PAM所成角的正弦值 P A O C B M 21（ 12 分） 已知函数 2 ( )e x fxax （1）若1a，证明：当0 x时，( )1f x； （2）若 ( )f x 在(0, )只有一个零点，求a （二）选考题：共10 分。

请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为 2cos 4sin x y ， （为参数），直线l的参数方程为 1cos 2sin xt yt ， （t为参数） （1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线 C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率 23选修 45：不等式选讲（10 分） 设函数( )5|2|f xxax （1）当 1a 时，求不等式( )0f x的解集； （2）若( )1f x，求 a 的取值范围 参考答案 : 一、选择题 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D 二、填空题 5 13.2yx14.9 15. 1 2 16.40 2 三、解答题 17. (12 分) 解：（ 1）设 n a的公差为d，由题意得 1 3315ad. 由 1 7a得 d=2. 所以 n a的通项公式为29 n an. （ 2）由（ 1）得 22 8(4)16 n Snnn. 所以当 n=4 时, n S取得最小值 ,最小值为 - 16. 18.(12 分 ) 解：（ 1）利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 ?30.413.5 19226.1y(亿元 ). 利用模型 ,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 ?9917.59256.5y(亿元 ). （ 2）利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下： （）从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5yt上下 . 这说明利用2000 年至2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋 势 .2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直 线的附近， 这说明从2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年 的数据建立的线性模型?9917.5yt可以较好地描述2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因 此利用模型得到的预测值更可靠.KS5U （）从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额220 亿元 ,由模型得到的预测值226.1 亿元的 增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠. 以上给出了2 种理由 ,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12 分 ) 解：（ 1）由题意得(1,0)F，l 的方程为(1)(0)yk xk. 设 1221 (,),(,)AyxyxB， 6 由 2 (1), 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk. 2 16160k ，故 12 2 2 24 k x k x. 所以 12 2 2 44 | |(1)(1)x k ABAFBF k x. 由题设知 2 2 44 8 k k ，解得1k（舍去），1k. 因此 l 的方程为1yx. （ 2）由（ 1）得 AB的中点坐标为(3,2)，所以 AB的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx. 设所求圆的圆心坐标为 00 (,)xy，则 00 2 200 0 5, (1) (1)16. 2 yx yx x 解得 0 0 3, 2 x y 或 0 0 11, 6. x y 因此所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy. 20.(12 分 ) 解：（ 1）因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且2 3OP. 连结OB.因为 2 2 ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形， 且OBAC， 1 2 2 OBAC . 由 222 OPOBPB知POOB. 由,OPOB OPAC知PO平面ABC. （ 2）如图，以O为坐标原点，OB uu u r 的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz. 7 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0, 2,0),(0,0, 2 3),(0,2, 2 3),OBACPAP uu u r 取平面PAC的法向 量(2,0,0)OB uu u r . 设( ,2,0)(02)M aaa，则( ,4,0)AMaa uuur . 设平面PAM的法向量为( , )x y zn. 由0,0APAM uu u ruuur nn得 22 30 (4)0 yz axa y ，可取(3(4), 3 ,)aaan， 所以 222 2 3(4) cos, 2 3(4)3 a OB aaa uu u r n.由已知得 3 | cos,| 2 OB uu u r n. 所以 222 2 3 |4|3 = 2 2 3(4)3 a aaa .解得4a（舍去）， 4 3 a. 所以 8 3 4 34 (,) 333 n.又(0,2, 2 3)PC uuu r ，所以 3 cos, 4 PC uu u r n. 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 3 4 . 21（ 12 分） 【解析】（ 1）当1a时，( )1f x等价于 2 (1)e10 x x 设函数 2 ( )(1)e1 x g xx，则 22 ( )(21)e(1) e xx g xxxx 当1x时，( )0g x，所以( )g x在(0,)单调递减 而(0)0g，故当0 x时，( )0g x，即( )1fx （ 2）设函数 2 ( )1e x h xax 8 ( )f x 在(0, )只有一个零点当且仅当( )h x 在(0, )只有一个零点 （ i）当0a时，( )0h x，( )h x没有零点； （ ii）当0a时， ( )(2)e x h xax x 当(0,2)x时，( )0h x；当(2,)x时，( )0h x 所以( )h x在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增 故 2 4 (2)1 e a h 是 ( )h x 在0, )的最小值 若(2)0h，即 2 e 4 a， ( )h x 在(0, )没有零点； 若(2)0h，即 2 e 4 a， ( )h x 在(0, )只有一个零点； 若(2)0h，即 2 e 4 a，由于 (0)1h ，所以 ( )h x 在(0,2)有一个零点， 由（ 1）知，当0 x时， 2 e x x，所以 333 4224 1616161 (4 )11110 e(e )(2 ) aa aaa ha aa 故( )h x在(2,4 )a有一个零点，因此( )h x在(0,)有两个零点 综上， ( )f x 在(0, )只有一个零点时， 2 e 4 a 22选修4-4：坐标系与参数方程（10分） 【解析】（ 1）曲线C的直角坐标方程为 22 1 416 xy 当cos0时，l的直角坐标方程为 tan2tanyx ， 当。