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随机共振及其在信号处理中的应用孙 水 发 三峡大学 电气信息学院 （电子工程系）Date一只小小的蝴蝶在巴西上空煽动翅膀，可能在 一个月后的美国得克萨斯州会引起一场风暴 这就是混沌学中著名的“蝴蝶效应” 引子：蝴蝶效应Date1960年，美国麻省理工学院教授洛伦兹研究“长期天 气预报”问题时，在计算机上用一组简化模型模拟 天气的演变他原本的意图是利用计算机的高速运 算来提高天气预报的准确性但是，事与愿违，多 次计算表明，初始条件的极微小差异，均会导致计 算结果的很大不同 由于气候变化是十分复杂的，所以在预测天气时，输 入的初始条件不可能包含所有的影响因素（通常的 简化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那 些被忽略的次要因素却可能对预报结果产生重大影 响，导致错误的结论由此，洛伦兹认定，尽管拥 有高速计算机和精确的测量数据（温度、风速、气 压等），也难以获得准确的长期天气预报Date洛伦兹用一种形象的比喻来表达他的这个发现 ：一只小小的蝴蝶在巴西上空煽动翅膀，可 能在一个月后的美国得克萨斯州会引起一场 风暴这就是混沌学中著名的“蝴蝶效应”， 也是最早发现的混沌现象之一 Date目录： 1.随机共振的背景，原理 2.随机共振的数学模型 3.随机共振的物理意义 4.信号处理中的随机共振 5.随机共振用于基带信号处理 6.参数导引的随机共振 7.随机共振与数字水印 8 进一步研究的问题Date噪声有利于信号传输？随机共振≠共振Date目录： 1.随机共振的背景，原理 2.随机共振的数学模型 3.随机共振的物理意义 4.信号处理中的随机共振 5.随机共振用于基带信号处理 6.参数导引的随机共振 7.随机共振与数字水印 8 进一步研究的问题Date1.1 背景1.随机共振是由意大利学者Benzi等人在研究地球远古 时期气候冰川期的周期性变化时提出来的，他们指 出：由地球偏心率的周期变化所产生的小周期扰动 在随机涨落(如太阳常量的各种无规则变化等)的作用 下，将导致气候的巨大变化，称这一现象为随机共 振。

•Benzi R, Sutera A, Vulpiani A. The Mechanism of Stochastic Resonance[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, vol.14: 453-457, 1981. •Benzi R, Parisi A, Sutera A, Vulpiani A. Stochastic Resonance in Climatic Change[J]. Tellus. vol.14: 11 -16, 1982Date1.1 背景－续2.之后的1983年，Fauve等在Schmitt触发 器电路实验中首次人为诱发了随机共振 ，接着由McNamara等人在激光系统中 发现了随机共振现象 3.近年来，在众多的科学领域中，科学家 们相继发现了随机共振现象，人们逐渐 认识到，随机共振是非线性系统的一个 普遍现象 Date1.2 原理随机共振强调的是随机信号的引入导致小 的扰动以及非线性系统三者之间的协调 ，共振 随机共振不等于共振Date基 带 信 号 传 输 中 的 随 机 共 振Date1.2 原理－续从信号处理的角度讲，随机共振是在非线性系统信号 传输中，输入为强噪声背景中的弱信号，通过调节 输入噪声的强度或者系统参数，使得系统输出达到 一个最佳值(比如最大输出信噪比)，称信号、噪声 和非线性系统产生的协同现象为随机共振。

随机共振理论和算法与小波分析、信号处理中的滤波 技术及神经网络等是不同的 随机共振为弱信号处理提供了一种新思路，对信息科 学有着重要的意义 Date目录： 1.随机共振的背景，原理 2.随机共振的数学模型 3.随机共振的物理意义 4.信号处理中的随机共振 5.随机共振用于基带信号处理 6.参数导引的随机共振 7.随机共振与数字水印 8 进一步研究的问题Date(1)(2)(3)2.1 数学模型Date2.2 双稳态势函数图1 双稳态势双稳态势函数其中：Date目录： 1.随机共振的背景，原理 2.随机共振的数学模型 3.随机共振的物理意义 4.信号处理中的随机共振 5.随机共振用于基带信号处理 6.参数导引的随机共振 7.随机共振与数字水印 8 进一步研究的问题Date3 物理意义(一)双稳随机共振系统的物理意义是一个质量为m( 这里假设为1)的布朗粒子在加性噪声及弱信 号的驱动下，在具有对称的双稳态势阱中的 过阻尼运动， 1.只加入噪声( ) 如果外力(输入)只有噪声的波动力，粒子将在 两个势阱之间跃迁，跃迁速率为著名的克莱 默(Kramers)速率Date3 物理意义(二)2.只有一个周期的弱力( ) 此时势函数为：Date3 物理意义(三)Date3 物理意义(四)3.同时加入噪声和周期信号—随机共振产 生当噪声和弱周期信号共同存在时，此时即使周期信 号很弱(小于临界值)，无法将粒子从一个势阱周期性的 翻滚到另一个势阱。

然而，由于噪声的存在，使得粒子 在两个势阱间翻转成为可能而且，随机共振现象表明 ，通过调节输入噪声的强度，可以使粒子在两个势阱之 间的跳变频率与输入弱信号频率相同，此时粒子跳变的 平均等待时间应该与周期信号的周期的一半相当其中 ， 为输入信号的周期Date目录： 1.随机共振的背景，原理 2.随机共振的数学模型 3.随机共振的物理意义 4.信号处理中的随机共振 5.随机共振用于基带信号处理 6.参数导引的随机共振 7.随机共振与数字水印 8 进一步研究的问题Date4.信号处理中的随机共振（一）在前面的随机共振系统中，如果将输入外 力看作是我们要传输的信号，噪声可以 看作是信号传输引入的信道噪声，系统 输入（信号+噪声）作为我们接收到的 信号，则将此接收到的信号通过如前面 说述的一个双稳态系统，粒子的状态看 作输出，则可以实现信号的检测Date4.信号处理中的随机共振(二)•原始周期信号 (b)噪声 (c) 噪声污染的信号(d) 检测到的周期信号 (e)幅值谱 (f) 局部放大的幅值谱 Date4.信号处理中的随机共振(三)输入信号 幅度 ＝ 0.001，频率 ＝ 0.0001 随机共振系统参数 ＝ 0.01， ＝ 0.01(a) 输出信噪比 (b) 系统增益 Date4.信号处理中的随机共振（四）由于输出信号幅值大于输入信号幅值，从 而起到了有效的放大作用；同时因系统 输出状态有规则的变化，有效地抑制了 系统输出状态中的噪声量，将部分噪声 能量转换到信号中去，这样就使整个系 统的输出信噪比得到很大的提高。

这时 ，弱信号，噪声及双稳态系统就组成了 一个随机共振信号处理器！Date4.信号处理中的随机共振（五）在传统的通信系统中，我们总是设法减少 噪声的干扰，但从以上分析可知，噪声 有时候反而有利于信号的传输、检测 因此，随机共振的出现为弱信号的检测 提供了一种新的思路，对信息科学的发 展有着重要意义Date目录： 1.随机共振的背景，原理 2.随机共振的数学模型 3.随机共振的物理意义 4.信号处理中的随机共振 5.随机共振用于基带信号处理 6.参数导引的随机共振 7.随机共振与数字水印 8 进一步研究的问题Date5. 随机共振用于基带信号处理－续•如果在一定的噪声范围随机共振现象出 现并且输入h(t)为非周期信号，比如基 带二进制信号，则称为非周期随机共振 现象Date上述的双稳系统被Hu，Godivier 和 Chapeau-Blondeau以及Duan和Xu等人 用来检测基带的PAM信号，以及在此基 础上我们设计的数字水印系统 5. 随机共振用于基带信号处理－续Date•Hu, G., Gong, D., Wen, X. et al.: Stochastic resonance in a nonlinear system driven by an aperiod force [J]. Phys. Rev. A 1992; 46: 3250- 3254 •Godivier, X. 8:581-590. •Duan, F. 13:411. •孙水发, 等, 基于参数导引随机共振的数字水印算法 [J]. 通信学报, 2005: 26(12):48-55 5. 随机共振用于基带信号处理－续Date假设h(t)为输入的二进制基带信号，ξ(t) 为信道噪声，Input(t)为信号经过信道 传输后的输出。

将该信道输出Input(t)作为非周期随机共 振（ASR）信号处理器的输入，则粒子 的状态x(t)可以认为是信道输出通过双 稳系统处理后检测到的信号，再通过采 样判决器对x(t)进行采样判决，最后得 到要传输的二进制信号，如图2所示 5. 随机共振用于基带信号处理－续Date5. 随机共振用于基带信号处理－续系统模型Date5.随机共振用于基带信号处理(a)(d)DateDateDate(a)(b)(c)(d)(e)(f)Date5.随机共振用于基带信号处理Wellens T., Shatokhin V. 107-138 Sun S., Kwong, S., “Stochastic resonance signal processor: principle, capacity analysis and method,” Int. J. Bifurcation and Chaos (accepted and to be appeared in Feb. 2007). Date目录： 1.随机共振的背景，原理 2.随机共振的数学模型 3.随机共振的物理意义 4.信号处理中的随机共振 5.随机共振用于基带信号处理 6.参数导引的随机共振 7.随机共振与数字水印 8 进一步研究的问题Date6参数导引的随机共振 (一)纯粹的非周期随机共振系统还不能广泛应用， 一个原因是由传统的随机共振系统的特点决 定的。

比如前面提到的双稳周期随机共振系 统就是通过调节输入噪声的强度达到噪声 、 弱信号及双稳态系统之间的共振，从而达到 最大的输出信噪比，起到放大信号的作用 也即输出端的信噪比会随着噪声强度的增大 先是增大，然后是减小而实际通信系统中 噪声的强度不是由接收端随意控制的，而是 信道的属性Date6参数导引的随机共振 (二)Bulsara等人认为通过调节系统参数也可是实 现随机共振，特别是Xu等提出的参数导引的 随机共振( Parameter-induced Stochastic Resonance, PSR)使得随机共振应用更趋于实 际，并且Xu分别在模拟和数字信号处理中得 到应用 Date6.参数导引的随机共振 (三)•Bulsara, A. R, Gammaitoni, L. Tuning in to noise[J]. Phys today, 1996, 49 (3):39-45.•Xu B. Duan, F, Bao, R, Li J. Stochastic resonance with tuning system parameters: the application of bistable system in signal processing[J], Chaos Solit. Fractal, 2002, 13(4):633-644.•F. Duan & B. Xu. Parameter-ind。