2021安徽考研数学二真题【含答案】.pdf
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2021安徽考研数学二真题试卷一、选择题：I〜10小题，每小题5 分，共 50分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1 . 当 x - 0 , £ (e" T )d， 是 ，的A .低 阶 无 穷 小 . B .等 价 无 穷 小 . C .高 阶 无 穷 小 . D .同阶但非等价无穷小.2 ( e？ -1 )l i m ---- ----------- = lim , 2x6—> x x->o —— 俅 - - - = lim -11° 7£2 . 函数/(x ) =《 x 在 x = 0 处[1, x =°, 故 选 C.A.连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数等于零D.可导且导数不为零D।ev- le x 1 - i因为lim =~ = 1 = / ( 0 ) , 故连续；又因为「 ％ ― — ev- l - x2 1 , 故可今 o丫lim ---- ------- = --------z------= —% -> 0 x X2 2导，所 以 选 D.3 . 有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2CM/S, -3 cm /5 , 当底面半径为10cm ,高 为 5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为A. 1257rm3 / s ,407rm2 / sB. 125^?m3 Is - 407rm2 IsC. -1 00zr,m3 / s ,40^/722 / sD. -1 OO^m3 / s - 40^,m2 / sC.dr dh , 2= 2 ， = — 3 ； V = R广h ， S = 2nrh + 2兀 / .dt dt d Vd rd r ° dh211rh _ + 兀 广 _ = -IOOTI .dt dtd S d r dh d r= 2nh + 2 〃 + 4 兀 〃 =40TI.d z d r d r d r4 . 设函数/ ( 幻= 以一切1 1 双。
〉0 )有 2个零点,aA. ( e , + oo) B . ( 0 , e ) C,( 0 , )eh则的取值范围D . ( I + oo)eA.f(x) = ax-b\rvc,^b<0,不满足条件，舍去；若b 〉0 ,令 / ' ( x ) = 一" = 0 ,得x=" . 在‘ ( )< "o o \( X ) > 0 .lim f ( x) - + oo, Z z m/ ( x ) = - F oo ,x->0+x->+oo令/') 4- 例电”=/l-叱 幻 < 0 , 得> 1 ,踮 '> e . 故选A.W 一 I ) ■ ■5 . 设函数/ ( x ) = s e c x 在 x = 0处 的 2次泰勒多项式为1 + 以 +亦 ，则A. a = l , 8 =」2,,1B . a = 1 , 人=2C , 1C. a = O,b = -2D .C , 1D. a = 0, b =2加 炉 + 2/ ( x ) = s e c x = / ( O )+ /z( O )x +D = 1 + ,『 +0 ( 尤 2 ).2所以可得。
0 , b =l26 . 设函数 / ( x , y )可微，且 / ( x + l , e ' ) = x ( x + l )2 j ( x , x 2 )= 2 x 2 ] nx , 则q〃 i / )= A. dx + d yB. dx - d >?C . dyD . - d y选C由于/(x + 1 , e*) = x(x+l)2 ,两边同时对X求导得/1,(x + l,ex)+ 力(x + l,e*)ex = (x + 1)2 + 2x(x + l) .令 工 =0得 / (1」 )+ / (1 /) = 1+ 0 , /z(x, x ) + /r(x, x2 )2x = 4x In x + 2x2 - ;12 12 -令 X = 1 得 / / ( 1 , 1 ) + 2 ^ ( 1 , 1 ) = 2 . 因此力' ( 1 , 1 )= 0 ；力( U ) = 1 .所以4 〃l , l ) = d y ,故 选C .7 . 设函数/ ( X )在区间［ 0 , 1 ］上连续，则［ )( x )d x ="(2k-1\ 1A. l i m %- - - - -|_" -*% = ］( 2 〃 ) 2nB . l i m Z/i- - - - -| _"T 8 * = l2" ( k-\} 1C . | _" f 8 *= i 12 〃 J 〃( k y 2D . l i m Z/| 一 | _f * =i ^ 2 n ) n( b 1 A| 将［ 0』］ 的区间〃等分，每一份取区间中点的函数值/ - | B .、 /z 2n )8 . 二次 型f(x,x , x ) = ( x + x )2 + O+x) 2- ( x— x ) 2的正惯性指数与负惯性指数依1 2 3 1 2 2 3 3 1A. 2 , 0D . L 2f^X , X ,X ) = ( x +x『+ (X + x )2 - ( 1 - X )123，、1 2 / 、2 3， 、3 1 7= X2+2X X + x2 + x2 4 - 2 x x + x2 - x2 + 2x x - x21 1 2 2 2 233 3 I 3 12 x2 + 2 x x + 2 x x + 2 x x . '0二次型对应矩阵为1、1A\^E-A\=-l-11 ?2 1 L1 °>-1 -12-2 -1— 1 Z2+1 0 -2-1-12-2 -1-1 -1 A1 0 0= (2+l)-l-1A— 2 — 2-1 2-1= (2+l)((/l- 2)(2-l) - 2]= 2(2+1)(2-3)则 p = 1 q = 1 .9 . 设3阶矩阵A=（ 四,az, a . ：） ,5 =（ 4 ， 4 , A） ,若向量组a3可以由向量组4 ,夕2,43线性表出，则 （ ）A. Ax=0的解均为Bx=0的解. B. 4Tx= （ ） 的解均为加工=0的解.C. Bx=0的解均为A x = 0的解. D. BTx=0的解均为ATx=0的解.D由题意，可 知A = 5C, * x = 0的解均为的解，即的解，D选项正确.f 1 of10 . 已知矩阵A = 2 -1 1 ， 若下三角可逆矩阵尸和上三角可逆矩阵。
， 使得PAQ为「1 2 5,对角矩阵，则 尸、分别 取 （ ）. C0 0H 1 o1 0 0 10 4 [ o 0o OV1-1 0 : 02 ”100 1]1 30 1,f 1 o 0U 1 0B. 2 -1 0 I' 0 1、 -3 2 ”1o 0fl 0 0V 1 2D. 0 1 O', 0 -1J 3 ”[o 0001通过代入验证0-125 "10 0 J । 0 0A选c二、填 空 题( 11-16小题，每 小 题5分，共30分)lL「x3*dx=g.1ln3“ 叼 J2 a+8 N r 1 ) I原式=2 x3«dLr=f 3 .'4 - = - L= —J In3” In 3[x = 2e， +/ + l, 212 . 设函数y = y (x )由参数方程4 确定，则 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ .[y = 4 ( I ) e ， +产 d『 .23dy /(/) 4e'+4( … l)e'+2f= = = 为dr x'(t) 2/+1 - 5d2y =3 g= 2J一 =2声 dr dx 2e'+l « 3dz13 . 设函数 z = z(x, y )由方程( % + l)z + ylnz - arctan(2xy) = l 确定，则 丁 二& (0,2)1 将x = 0 ,y = 2代 入 得z=l ,又对(x + l)z + y In z - arctan (2xy ) = 1两边同时求x的导数得, dz 1 dz 2vz + (x+l) +y - =0dx z dx 1+ (2x>')2Qz将X=0,y = 2,Z= 1代入上式得 =1 .dx’ 14. 已知函数 f(t) = P dx\' sin ⑦，则y (2厂兀 2cos .2 兀r f - X t / X1 呵J 〃 丫" ‘ =』町 si〃 芦“)=[ % 产，所 以d#仍小及 =- 215.微分方程y ' — y = 0的通解y = _____ .Cer+e 2 1 C s in " 费x + J c o s ® ] ,। I 2 2 2 )设其特征方程为尸—1 = 0 ,则r = l； r =121 x 2 - 116. 多项式/(x )= c , , 中x3项的系数为2 1 x 12 -1 1 x1 ( y2 x、= [ I 1 sin dr |dy,则Ji j y j⑴2一兀 2x4 兀 2— cos——=—cos —.2 兀1 2 兀其中C,C ,C为任意常数.1 2 3-1 + ^ z ;r 故其通解为2 2 3 2 2-5 /项为( —1 " Z d + L 1)' / = — 5 1 ,因此/项系数为— 5三、解答题：17〜 22小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.曝极限■! ? ” 」)—> ex -1 sin 尤[ 1+产 出 、lim' 0 - 一 l = limDI e' -1 sinx 1 A-sinx+ xtz - ev + 1sin x£ e drTO (ev -Ijsinx1 7 .（ 本 题 满 分10分）I J ' 'sin -e" + l ”-sin xf e d/ .. sinx-e +l i m---------------h-----------------=hm ,1 0 ] X ] XT。
xX -~ X3+O(^X3>j - l - X - ~ x2+o(x2 ) p= lim------------------------------ --------------- b lim _2.v->0XK TO18 . ( 本题满分12分)已知/(x) = W U ,求/ ( X)的凹凸区间及渐近线.1+Xf-x2,।------ x<0, x ^ -1f(x) = <11+x1 匚 x> 0[l + x'X2 ___ 0f (O)=lim 山一=0X T° X- X2 -0/(0 )= lim J£ 2 — =0D X所以i sinx| e dr+ lim——与- - - - -%->0 x~x ,2e dr1 । 1____ = - -4 -1 = -x 2 2 1x < 0 , x w — 1। 十 小= < | o , x = 01 - 1 x > 0[ ( l + x ) 3_L - o/ ■ ( 0 ) = l i m ( l + x ) - = 2Z X- 1 + 1 - 0/ ( 0 ) = l i m ( l + x ) 2 = - 2X TO x一i
,为使Ip最小，求P的坐标6 6解( 1 ) y - - y = -x x J 6 -J6* 、y = e x |- _ e、+ C=x，［ 『- x^dx + c］= 1+Cx6.根据由初始条件得C= L所 以y= 1+J x6.3 3(2)设在x ,l+ I f । 的法线为 y -11+1/° 3J° 1 I 3J°0在y轴上的截距为I = 1 + 1 x6+1 = % ( x ) ,p 至 一 3 0 0〃 '( x) = —2 / + 2 / = 0 ,得 * = ±1 ,得 p 点坐标为 4 1「 一 1,410 0 0 0 — —I J I o I【3八3)21 .（ 本题满分12分）曲线（ 7 +炉彳二月一丁 ） 与X轴围成的区域D ,求JJ巧.4'= r2 co s 2 —= cos 21 M/=jj xydxdy = £ 入 了 办i 1 2 1 । 2 2=£X,2^ M d x =4Lfx= rcosQ x2= r 2cos2 3= cos 23- cos2 0y= rsin" y 2= r2sin 2 & = cos 29 sin 2 0= /2(x)/= 1 } cos 20 sin2 Q I (cos 20 cos2t 4J p(sin4^sin2cos2ft-2cos22^sin3ftos^6i9411 n 9 \ s.二［2sin 46sin- 2劭 % 「cos ?2Osin 2戊 1 -cos 20) d016Jo 8Jo 1 z 1 1 a~ f 2(sin A0- sin 8^) dO- f 2(cos 210- cos 32^) d cos 1632， 2 16Jo1 1 1 1 1 1 , 1 ”-- _ • cos 4£ + - cos S02 - - ( cos 326- COS 4 20)2324 寸 64 8 0 16 3 41一242 2 .( 本题满分12分)2设矩阵A= 111 02 0仅有两不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求 的 值 ，并求可逆a b矩 阵P ，使P TAP为对角矩阵.A-2 -1 0\2E-A\= -1 4— 2 0 =(2—加[ ( /1- 2) 2— 1]-1 -a 今 b= ( 〃份(4一4 a 3 )=(2-^)(2-1)(2-3)=0.n i o' I I当Z ? = l时，a — \< A = 3,A — A — 1, P = ' 1 — 1 0 .1 2 31 1 0 4当b = 3时，a= -1 , A = A = 3,Z = 1, P = 1I 0 1 -1 I 2 。
