采样与量化课件.ppt

第三讲 采样与量化,一、采样 （一）低通采样定理 （二）低通随机信号的采样 （三）带通采样 二、量化 三、重构与内插 （一）理想重构 （二）上采样与下采样 四、仿真采样频率 （一）通用开发 （二）数据符号的独立性 （三）仿真采样率,引 言,本课程的主要目的是研究利用数字计算机对通信系统进行精确仿真所需的基本方法 计算机只能处理所关心的表示信号波形的采样点的数值 由于计算机存在有效字长效应，采样值是有限精度的，换句话说，采样点的值是经过量化的 采样和量化在数字仿真中都是基本的操作，其中每一个操作都会给仿真结果带来误差而要完全消除这些误差源是不可能的，因此往往需要作折中 我们的目的：使采样和量化对仿真精度的影响最小化 而且，许多物理的系统都利用了数字信号处理（Digital Signal-Processing,DSP）技术，它们同样会受采样和量化误差的影响第一节 采样,数字信号是通过对模拟信号进行采样、量化和编码得到的 模拟信号是时间和幅度都连续的信号，记作x(t) 采样的结果是产生幅度连续而时间离散的信号，这样的信号常被称为采样数据信号 通过将时间采样值编码到一个有限的数值集合上，可由采样数据信号得到数字信号。

在这些采样和量化处理的每一步中都会引入误差图3-1采样、量化和编码,低通采样定理,从时间连续信号x(t)到数字信号转换的第一步就是，对x(t)进行等时间间隔采样，得到采样值xs(t)＝x(kTs)＝x[k]参数Ts是采样周期，其倒数就是采样频率fs采样操作的模型如下页图所示采样信号xs(t)是用信号x(t)乘以周期脉冲p(t)来产生的也即,信号p(t)叫采样函数假定采样函数为窄脉冲，其取值或者为0或者为l因此，当p(t)＝l时，xs(t)＝x(t);而当p(t)＝0时，xs(t)＝0 注意：采样函数p(t)只有周期是重要的，而其波形可以是任意的图3-2采样操作和采样函数,由于p(t)是周期信号，所以可用傅里叶级数表示为,结论：对时间连续信号的采样导致了信号频谱在直流（f＝0）点和所有采样点的谐波处（f=nfs）产生重复—即周期化，并且用采样脉冲p(t)的傅里叶级数展开的相应系数对变换后的信号频谱作了加权推导采样定理的下一步，也是最后一步，是定义p(t)由于假定采样是瞬时的，p(t)的一个合适的定义可以为,这就是所谓的冲激函数采样，其中采样的值由冲激函数的权来表示因此应用式（3-8），采样后信号的频谱变为,图3-3采样在频域表示,采样定理讨论，可通过对图3-3的观察得到。

为了在采样x(nTs)中包含时间连续信号x(t)的所有信息，以便在采样过程中不损失信息，进行的采样必需保证可以通过采样点x(nTs)无差错地重构信号x(t) 可以看到，通过使用低通滤波器在n＝0附近提取Xs(f)的频谱，可完成从xs(t)到x(t)信号的重构要完成无差错的信号恢复，要求Xs(f)在f=±fs附近的频谱（n＝±1项）与在f＝0处的频谱没有重叠（式（3-13 )中n＝0项） 换句话说，式（3-13 )中的频谱必须是分离的，即必须满足fs-fh>fh或fs>2fh，从而证明了低通信号采样定理定理1：如果采样频率fs大于2fh,那么带限信号就可以无差错地通过其采样信号恢复，这里fh表示被采样信号中出现的最高频率虽然这个定理通常是指低通信号的采样定理，但它对带通信号同样适用然而，将低通采样定理应用于带通信号通常导致极高的采样频率如果fs<2fh，那么f=±fs为中心的频谱和f=0为中心的频谱会发生重叠，如图3-4所示，重构滤波器的输出跟信号x(t)相比出现失真，通常将这种失真称作混叠假定x(t)的频谱是实数，图3-4所示为混叠的结果图3-4 欠采样导致混叠误差,波形信号x(t)为能量有限的确定性信号时，其傅里叶变换存在，并且采样定理可以基于信号的频谱（傅里叶变换）。

假设仿真处理的是随机过程的样本函数，那么选用合适的采样频率不是基于待仿真信号的傅里叶变换，而应该是基于其功率谱密度（PSD）对于随机信号，有,低通随机信号的采样,此处的采样函数P(t)可以写为,式中D是独立于X(t)的在(0, TS)上均匀分布的随机变量 注意：式（3-15）、（3-1)、(3-16)与（3-9 )之间的区别：首先，在时间函数X(t)、 P(t)及Xs(t)中使用了大写字母，以提醒我们它们表示随机过程其次是式（3-16）中使用了随机变量D，D的作用是确保Xs(t)是平稳（stationary）随机过程不包含D的采样信号是周期平稳的（cyclo-stationary）D的作用是使得P(t)的时间原点随机但固定要得到Xs(t)的功率谱密度，首先要确定Xs(t)的自相关函数,对求出的Xs(t)的自相关函数进行傅里叶变换，可得到Xs(t)的功率谱密度如下,此处Sx(f)表示X(t)的功率谱密度 注意式（3-18 )与式（3-13）具有相似性 还要注意到，在图3-3和图3-4中，如果将X(t)的频谱对应到功率谱，并且坐标轴作相应的改变，那么前面导出的采样定理仍然适用 因此，如果要避免混叠现象，随机信号的采样频率仍然需要信号最高频率的2倍以上。

带通采样,带通采样定理,实带通信号的带通采样定理表述如下： 定理2 如果带通信号的带宽为B，最高频率为fh，那么可以用大小为fs=2fh/m的采样频率来采样并恢复信号，其中m是不超过fh/B的最大整数更高的采样频率未必全都能用，除非它高于2fh（该数值等于低通采样定理规定的采样频率fs）如图3-5所示为归一化采样频率fs/B作为归一化中心频率f0/B的函数曲线，其中f0和fh通过公式fh=f0＋B/2相关联 从图中可以看到，允许的采样频率总是处在2B到4B的范围内 对f0>>B这种典型的情况，带通采样定理规定的采样频率近似等于下界2B图3-5 带通采样所需的采样频率,同相／正交信号采样,假定带通信号表示为如下形式,函数A(t)称为带通信号的包络，而函数 为带通信号的相位偏移 在大多数的通信应用中，A(t)和 是低通信号，并且具有和信息承载信号大体相当的带宽利用标准的三角函数恒等式，带通信号可以表示为,称为直接（或同相）分量,称为正交分量 由于A(t)和 都是低通信号，使得xd(t)和xq(t)也是低通信号，因而必须按照低通采样定理的规定进行采样从式（3-21)可知，如果已知xd(t)、xq(t)和载波频率fc，那么带通信号可以无差错地恢复。

如何用同相和正交分量表示带通信号，将在第4章中详细讨论带通信号的频域表示如图3-6(a)所示，该信号对应的复包络定义如下,由子xd(t)和xq(t)都是低通信号,也是低通信号，如图3-6(b)所示在图3-6中，可以看到 是低通信号，因而xd(t)和xq(t)也为低通信号，因此， xd(t)和xq(t)必须根据低通采样定理进行采样 因为xd(t)和xq(t)的最高频率是B/2，它们中每个的最小采样频率都是B然而，必须采样两个低通信号[xd(t)和xq(t)]，而不是一个，因此，必须使用超过2B的采样率图3-6带通信号和对应的复包络,因而看到，对于f0>>B这种典型情况： 利用低通采样定理对复包络信号采样利用带通采样定理对实带通信号采样，所需采样频率是一样的第二节 量化,量化过程和简单的定点编码过程如图3-7所示图中给出了连续时间波形和许多该波形的采样点，采样值以黑点表示，每个采样点都落在一个量化级内假设有n个量化级，每个量化级用一个长度为b比特的二进制字表示，于是,在图3-7中，每一个量化级映射为3位(b = 3, n = 8)量化之后，采样值用一个与其所处量化级相对应的码字来表示，而波形的数字处理通过对码字的处理来完成。

例如，图3-7中前三个采样值（从左到右）可以用二进制序列100 110 111表示图3-7量化与编码,假设有n个量化级，每个量化级用一个长度为b比特的二进制字表示，于是,在上图中，每一个量化级映射为3位(b = 3, n = 8)从采样定理知道，以超过奈奎斯特频率的频率对连续时间带限信号进行采样，可以无差错地对它进行重构因此，在这样的条件下采样操作是可逆的 但是量化却是不可逆的一旦采样值经过量化，仅保持量化级，就会引入随机误差如前，波形在采样时刻t＝kTs的值表示为x[k]，而对应的量化值表示为xq[k]，有,其中eq[k]是量化过程引入的误差量化器模型如图3-8所示 如果原信号不是带宽受限的，那么得到的数字信号就会包含混叠和量化二者导致的误差 如何在计算量和误差之间进行折中？？？,图3-8量化误差模型,量化过程所关心的是量化信噪比（signal-to-noise, SNR），这里的噪声解释为量化过程引入的噪声，量化的信噪比表示为(SNR)q，即,式中E{.}表示统计平均，Nq是由于量化过程引入的噪声的功率为了确定(SNR)q必须已知误差项eq[k]的概率密度函数 量化误差的概率密度函数是计算机所使用的数字表示格式的函数。

计算机表示数字的方式有很多，大体上可以分为定点和浮点两类▲定点运算,尽管大多数通用计算机是以浮点格式表示来进行仿真，我们这里还是考虑由于定点数表示而引入的量化误差有以下几个原因： 首先，通过定点运算，可以阐明量化误差的基本产生机理 其次，因为定点计算的运行速度比浮点计算快得多，所以已经开发出了使用定点运算的专用仿真器 此外，定点处理器的功耗通常比较低 定点运算设备的仿真和设计要广泛得多假定量化级的宽度为△，如图3-7所示，同时假定对于给定的量化级，采样值在量化级的中间在这种情况下，量化误差|eq[k]|的最大值是△/2如果量化级数多，对应的数字字长就长，并且如果信号随不同采样点变化很大，给定的采样点等可能地落在量化级中的任意点上这种量化产生的误差可以假定是独立均匀分布的 因此，如图3-9所示，量化误差的概率密度函数是在〔-△/2，△/2］上均匀分布的函数若第k个采样点的量化误差记为eq[k] ，有：采样误差均值是零,而其方差是,现在来计算量化信噪比假设量化器的动态范围是D，字长为b假定使用二进制，有2b个可能的量化级，并且动态范围为,因此,而量化噪声的功率为,动态范围由输入信号到量化器的峰--峰值确定。

如果信号功率为S,由于量化产生的信噪比：(SNR)q,假设信号是零均值的，S和D的值可通过对应信号的波峰因数（crest factor）关联起来波峰因数的定义为信号的RMS或者标准偏差与信号峰值的比为了阐述这种关系，假定对应信号有动态范围（峰--峰值）D，并处于±D/2范围内，由于信号功率为S，其标准偏差为 ，因此波峰因数为,将式(3-38)代入式(3-37）得,以dB为单位有,可以看出，与低波峰因数的信号相比，高波峰因数的信号具有更好的抗量化误差的能力结果是符合逻辑的，因为具有高波峰因数的信号有更大的标准差，也就是说在量化级上展得更开当然，字长b也对(SNR)q影响很大，字长每增加一个比特对(SNR)q的改进就有6dB在本课程的大部分时间里，我们关心的是利用浮点数表示法在通用计算机上面运行仿真 浮点数的格式为±M *（±10^E），这里M和E分别是尾数和指数 在要求高精确度时，用64位比特（双精度）来表示一个码字，并且将这64位比特分配给尾数和指数 对给定的计算，如何进行分配会产生重要的影响幸运的是，这种分配大部分已经标准化了，ANSI／IEEE标准就规定了浮点数用53位比特表示尾数，用余下的11位比特表示指数。

浮点运算,对给定的计算机，MATLAB提供了一个简单的方法来确定在一台计算机上是否采用了IEEE标准的方法在MATLAB命令行简单地输人isieee，如果返回结果为1就表示采用了IEEE的标准 由于在整本书中都是用MATLAB来开发和演示仿真的，因此对期望精度的考虑很重要。