2024-2025学年福建省福州十五中高一（下）期末数学试卷（含解析）.docx

2024-2025学年福建省福州十五中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AC|，则向量AB在向量BC上的投影向量为(    )A. 14BC B. 34BC C. −14BC D. −34BC2.已知平面向量a=(2,4)，b=(2,1)，则向量a在向量(a+2b)上的投影向量的坐标为(    )A. ( 53, 53) B. (2 5,2 5) C. (2 5, 5) D. (3,3)3.已知一组样本数据x1，x2，⋯，x7(x1

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A=“第一次出现奇数点”，事件B=“两次点数之积为偶数”，事件C=“两次点数之和为5”，则(    )A. 事件A⋃B是必然事件 B. 事件A与事件B是互斥事件C. 事件B包含事件C D. 事件A与事件C是相互独立事件10.已知复数z=1+ 3i，则(    )A. |z|=2B. z+(2+ 3i)z−=0C. z在复平面内对应的点在第一象限D. 复数z是方程x2−2x+4=0在复数集内的解11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(    )A. 若sin2A>sin2B+sin2C，则△ABC是钝角三角形B. 若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosBC. 若b=4，c=3，C=π3，则满足这组条件的三角形有两个D. 若c2−b2=ab，则C=2B12.下列结论错误的是(    )A. 若向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则λ的取值范围是(−53,+∞)B. 若非零向量a，b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a+b的夹角为60°C. 若向量a，b满足(a−2b)⋅b=2，且|b|=2，则a在b方向上的投影向量的模为5D. 若向量a与b的夹角为π6，|a|=3,|b|=1,t∈R，则|ta+b|的最小值为14三、填空题：本题共1小题，每小题6分，共6分。

13.已知|z|=1，则|z+3−4i|的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤14.(本小题16分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m=(a+b,sinC)，n=(b−c,sinB−sinA)，且m//n．(1)求A；(2)若BD=3DC,AD=1，求△ABC面积的最大值；(3)若△ABC为锐角三角形，且a=3，求△ABC周长的取值范围．15.(本小题16分)2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；(2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．16.(本小题16分)Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512．(1)求p和q的值；(2)试求两人共答对3道题的概率．17.(本小题16分)如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=2，O，M分别为AB，PB的中点．(1)求证：平面MOC⊥平面PAB；(2)求直线MC与平面ABC所成角的正弦值．18.(本小题16分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=2π3，E为棱PA的中点，PA=PB=4，PD=2 3，直线PA与BC所成的角的大小为π3．(1)证明：PC//平面BDE；(2)证明：PD⊥平面ABCD；(3)求二面角E−BD−A的正弦值．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：如图，因为2AO=AB+AC，所以O为BC的中点，又因为O为△ABC的外接圆圆心，所以BC为圆O的直径，且OA=OB=OC，∠BAC=90°，又因为|OA|=|AC|，所以△ACO为等边三角形，即∠ACO=60°，因为△AOB为等腰三角形，所以∠OAB=∠OBA=90°−60°=30°，因为△ABC为以BC为斜边的直角三角形，所以|AB|= 32|BC|，所以向量AB在向量BC上的投影向量为：|AB|⋅cos150°⋅BC|BC|= 32|BC|⋅cos150°⋅BC|BC|= 32×(− 32)BC=−34BC．故选：D．根据条件作图，可得△ACO为等边三角形，△AOB为等腰三角形，△ABC为直角三角形，即∠OBA=30°，|AB|= 32|BC|，再根据投影向量的概念求解即可．本题考查三角形的性质和投影向量的求解，属于基础题．2.【答案】D 【解析】解：由a=(2,4)，b=(2,1)，可得|a|= 22+42=2 5，a⋅b=2×2+4×1=8，且a+2b=(2,4)+2(2,1)=(6,6)，则a⋅(a+2b)=(2,4)⋅(6,6)=2×6+4×6=36，|a+2b|= 62+62=6 2，则向量a在向量(a+2b)上的投影向量为：a⋅(a+2b)|a+2b|⋅a+2b|a+2b|=36(6 2)2⋅(a+2b)=12(a+2b)=12(6,6)=(3,3)．故选：D．利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标公式计算即可．本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．3.【答案】C 【解析】解：样本数据x1，x2，⋯，x7(x1