（精）高中数学放缩法公式.docx

精品文档“放缩法 ”证明不等式的基本策略1 、添加或舍弃一些正项（或负项）随意编辑例 1 、已知 an2 n 1(n N *). 求证： n 1 a1 a2 ... an ( n N * ).2 3 a2 a3an 1k证明：Q ak2 1 1 1 1 1 1 1 . 1 , k1,2,..., n,ak 12k 1 1 2 2(2k 1 1) 2 3.2k 2k 2 2 3 2ka1 a2... ann 1 ( 1 1... 1 )n 1 (1 1 )n 1 ,a2 a3 an 12 3 2 222n 2 3 2 n 2 3n 1 a1a2 ... ann (n N * ).2 3 a2 a3 an 1 2若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小 由于证明不等式的需要， 有时需要舍去或添加一些项， 使不等式一边放大或缩小，k利用不等式的传递性，达到证明的目的本题在放缩时就舍去了 2到化简 .2 、先放缩再求和（或先求和再放缩）2 ，从而是使和式得例 2 、函数 f（ x） =4x1 4 x，求证： f（ 1 ） + f（ 2 ） + + f（ n ） > n +12 n 11 (n2N * ) .4n 1 1证明：由 f (n )= n =1- n 1 n1 4 1 4 2 2得 f （ 1） + f （2 ） + + f（ n） > 112 211 12 221 12 2nn 1 (1 1 14 2 41 )2 n 1n 12n 11 (n2N * ) .此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 , 先将分子变为常数，再对分母进行放缩， 从而对左边可以进行求和 . 若分子 , 分母如果同时存在变量时 , 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。

如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可3 、逐项放大或缩小n(n 1)( n 1)2例 3 、设 an1 2 2 3 3 42n(n1) 求证：1 2an2 22 n 1证明：∵ n( n 1) n n2n 1n(n 1)(n )2 2∴ n n(n 1)21 3( 2n 1)n(n 1)(n 1) 2∴ 1 2 3n an ， ∴ an2 2 2本题利用n n( n 1)2n 1，对2an 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的4 、固定一部分项，放缩另外的项；1 1 1 1 7例 4、求证： 2 2 2 L1 2 3n 2 4证明： Q1 1 1 12n n(n 1) n 1 n1 1 1 L1 1 1 11 ( L1 1 5 1 1 7) ( ) .2 2 2 2 21 2 3n 2 2 3n 1 n4 2 n 4此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处5 、函数放缩例 5. 求证：ln 22ln 33ln 44ln 3nn33n 5n 66 ( nN * ).解析 :先构造函数有1123336911111111234567891ln x x 1ln x x1 1x ,从而ln 22ln 331ln 441ln 3n3n13 n 1 ( 1 1 1 )2 3 3n因为 3n5 9 93n 13n 12n 2n 1 3n5n6 18 272 3 n 1 3n 6ln 2所以 2ln 33ln 44ln 3n3nn 5n n3 1 365n 666 、裂项放缩n 1 52例 6 求证: k 1 k 3 .12n解析 :因为1 42n2 1 4 n 142 12n 112n 1n 1 1 1k2 1 2,所以 k 1 3 512n 11 2 512n 1 3 37 、均值不等式放缩S 1 2 2 3n(n1).n( n 1)Sn(n 1) 2.例 7. 设n 求证 2 2解析 : 此数列的通项为 akk (k1) , k1,2,, n.k k (k 1)k k 121 nnk k S2 ， k 1n 1( k )k 1 2 ，n( n 1)即 2n(n 1)Sn2n (n 21)2.2a bab注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 ，若放成k(k 1)Snk 1 则得n(k 1)k 1(n 1)( n 3)2( n 1) 22，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里n1 1a1 ann a1 a na1 an 1 naa2 2n n其中， n 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。

8 、二项放缩2 n (11) n 0 1nCnn , 2Cn Cn01n 1,C0nnn2 CnC12C n Cnn 2 n 222n n( n1)(n 2)。