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1995考研数二真题及解析 - 1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设y?cos(x)sin221,那么y-＿＿＿＿＿＿. x(2) 微分方程y-?y-2x的通解为＿＿＿＿＿＿. 2-x?1?t(3) 曲线?在t?2处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. 3-y?t(4) lim(n-12n-L?)?＿＿＿＿＿＿. n2?n?1n2?n?2n2?n?n2(5) 曲线y?x2e?x的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设f(x)和?(x)在(-,-)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)?0,?(x)有连续点,那么 ( ) (A) ?[f(x)]必有连续点 (B) [?(x)]2必有连续点 (C) f[?(x)]必有连续点 (D) ?(x)必有连续点 f(x)(2) 曲线y?x(x?1)(2?x)与x轴所围图形的面积可表示为 ( ) (A) ?(B) ?20x(x?1)(2?x)dx 21-10x(x?1)(2?x)dx-x(x?1)(2?x)dx 10(C) ?(D) ?x(x?1)(2?x)dx-x(x?1)(2?x)dx 1220x(x?1)(2?x)dx (3) 设f(x)在(-,-)内可导,且对任意x1,x2,当x1?x2时,都有f(x1)?f(x2),那么 ( ) (A) 对任意x,f?(x)?0 (B) 对任意x,f?(?x)?0 (C) 函数f(?x)单调增加 (D) 函数?f(?x)单调增加 (4) 设函数f(x)在[0,1]上f-(x)?0,那么f?(1)、f?(0)、f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小顺序是 ( ) (A) f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B) f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (C) f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) (D) f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0) (5) 设f(x)可导,F(x)?f(x)(1?|sinx|),假设使F(x)在x?0处可导,那么必有 ( ) (A) f(0)?0 (B) f?(0)?0 (C) f(0)?f?(0)?0 (D) f(0)?f?(0)?0 三、(此题共6小题,每题5分,总分值30分.) (1) 求lim?x?01?cosx. x(1?cosx)f(y)(2) 设函数y?y(x)由方程xed2y?e确定,其中f具有二阶导数,且f-1,求2. dxyx2(3) 设f(x?1)?ln2,且f[?(x)]?lnx,求-(x)dx. x?221-xarctan2,x?0,(4) 设f(x)-试讨论f?(x)在x?0处的连续性. x- 0, x?0,?x?1?cost(5) 求摆线?一拱(0?t?2?)的弧长. ?y?t?sint(6) 设单位质点在程度面内作直线运动,初速度vt?0?v0,阻力与速度成正比(比例常数为1),问t为多少时此质点的速度为 四、(此题总分值8分) 求函数f(x)?v0？并求到此时刻该质点所经过的路程. 3?x20(2?t)e?tdt的最大值和最小值. 五、(此题总分值8分) x设y?e是微分方程xy-p(x)y?x的一个解,求此微分方程满足条件yx?ln2?0的特解. 六、(此题总分值8分) 如图,设曲线L的方程为y?f(x),且y-?0,又MT,MP分别为该曲线在点M(x0,y0)处的切线和法线,线段MP的长度为-?y-(x0)),试推导出点P(?,?)的坐标表达式. y0 七、(此题总分值8分) 设f(x)?(1?y?)-y?(x0), (其中y0-y03220y P(?,?) ? L M(x0,y0) T O x ?x0?sintdt,计算?f(x)dx. 0-t 八、(此题总分值8分) 设limx?0f(x)?1,且f-(x)?0,证明f(x)?x. x 1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.) (1)【答案】?2xsin(x2)?sin21?xcos(x2)?sinx22x 【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成,满足复合函数求导法那么, ?sin21?cos(x2)?sin2?cos(x) y---x?21- ?x?1111?cos(x2)?2sin?cos?(?1)2 xxxx2cos(x2)?sin1x. -2xsin(x2)?sin2?2xx -sin(x)?2x?sin22【相关知识点】复合函数求导法那么：y-(f(x))的导数为y--(f(x))f?(x). (2)【答案】y?c1cosx?c2sinx?2x 【解析】微分方程y-?y-2x对应的齐次方程y-?y?0的特征方程为r?1?0, 特征根为r1,2-i,故对应齐次方程的通解为C1cosx?C2sinx. 设非齐次方程的特解Y?ax?b,那么Y-a,Y-?0,代入微分方程y-?y-2x,得 20?ax?b-2x, 比拟系数得a-2,b?0,故Y-2x.所以通解为 y?C1cosx?C2sinx?2x. 【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的构造：设y(x)是二阶线性非齐次方程 *y-?P(x)y-Q(x)y?f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程 y-?P(x)y-Q(x)y?0的通解,那么y?Y(x)?y*(x)是非齐次方程的通解. 2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x),可用特征方程法求解：即y-?P(x)y-Q(x)y?0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程2变为y-?py-qy?0.其特征方程写为r?pr?q?0,在复数域内解出两个特征根r 1,r2；分三种情况： (1) 两个不相等的实数根r1,r2,那么通解为y?C1e rx1?C2er2x; 1(2) 两个相等的实数根r1?r2,那么通解为y-C1?C2x?e; rx?x(3) 一对共轭复根r1,2-?i?,那么通解为y?e?C1cos?x?C2sin?x?.其中C1,C2为常数. 3.对于求解二阶线性非齐次方程y-?P(x)y-Q(x)y?f(x)的一个特解y*(x),可用待定系数法,有结论如下： ?x*k?x假如f(x)?Pm(x)e,那么二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)?xQm(x)e 的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)一样次数的多项式,而k按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2. 假如f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x],那么二阶常系数非齐次线性微分方程y-?p(x)y-q(x)y?f(x)的特解可设为 (1)(2)y*?xke?x[Rm(x)cos?x?Rm(x)sin?x], (1)(2)其中Rm(x)与Rm(x)是m次多项式,m?max?l,n?,而k按-i?(或-i?)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1. (3)【答案】y?3x?7?0 【解析】切线的斜率为 dydxt?2dy?dtdxdt3t2?2tt?2t?23?t?3. 2t?2当t?2时,x?5,y?8.故所求切线方程为 y?8?3(x?5).化简得 y?3x?7?0. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：假如?(4)【答案】?x-(t)dy-(t)?,那么. ?dx?(t)y-(t)?1 2【解析】应用夹逼准那么求数列的极限.令 12n-? 222n?n?1n?n?2n?n?n12n?2-2那么 an?2 n?n?nn?n?nn?n?nan? 第 7 页 共 7 页。