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第二节　排列与组合考考纲考情考情广广东五年五年0 0考　　高考指数考　　高考指数: :★☆☆☆☆★☆☆☆☆1.1.理解排列、理解排列、组合的概念合的概念2.2.理解排列数公式、理解排列数公式、组合数公式合数公式3.3.能解决一些能解决一些简单的的实际问题五年五年考考题无无单独命独命题考情考情播播报1.1.多以多以选择题、填空、填空题的形式出的形式出现, ,重点考重点考查排列排列与与组合的概念及合的概念及简单的的实际应用用, ,常与两个常与两个计数原数原理交理交汇命命题2.2.偶偶尔尔也会在解答也会在解答题中出中出现, ,常与概率交常与概率交汇命命题, ,考考查学生分析学生分析问题、解决、解决问题的能力的能力【知识梳理】【知识梳理】1.1.排列与组合的概念排列与组合的概念名称名称定　定　义排列排列从从n n个不同元素个不同元素中取出中取出m(m≤n)m(m≤n)个元素个元素按照一定的按照一定的顺序序__________________组合合合成一合成一组排成一列排成一列2.2.排列数与组合数的概念排列数与组合数的概念名称名称定　定　义排列数排列数从从n n个不同元素中取个不同元素中取出出m(m≤n)m(m≤n)个元素的个元素的所有不同所有不同排列的个数排列的个数组合数合数组合的个数合的个数3.3.排列数与组合数公式排列数与组合数公式(1)(1)排列数公式：排列数公式：① ① = _____________________=_________;= _____________________=_________;② =___.② =___.(2)(2)组合数公式：组合数公式： = _______________________ = _______________________=___________.=___________.n(n-1)(n-2)…(n-m+1)n(n-1)(n-2)…(n-m+1)n!n!4 4．组合数的性质．组合数的性质(1) =______.(1) =______.(2) =______.(2) =______.【考点自测】【考点自测】1.(1.(思考思考) )下面关于排列和下面关于排列和组合的合的结论正确的是正确的是( (　　　　) )①①所有元素完全相同的两个排列所有元素完全相同的两个排列为相同排列相同排列; ;②②组合数公式的合数公式的阶乘形式主要用于乘形式主要用于计算具体的算具体的组合数合数; ;③③两个两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同合相同的充要条件是其中的元素完全相同; ;④④排列定排列定义规定定给出的出的n n个元素各不相同个元素各不相同, ,并且只研究被取出的并且只研究被取出的元素也各不相同的情况元素也各不相同的情况. .也就是也就是说, ,如果某个元素已被取出如果某个元素已被取出, ,则这个元素就不再取了个元素就不再取了. .A.①② B.②③ C.③④ D.①④A.①② B.②③ C.③④ D.①④【解析】【解析】选选C.①C.①错误错误. .当两个排列的所有元素完全相同当两个排列的所有元素完全相同, ,但其排但其排列顺序不同时列顺序不同时, ,仍然不是相同排列仍然不是相同排列, ,所以错误所以错误.②.②错误错误. .组合数公组合数公式的连乘形式常用于计算具体的组合数式的连乘形式常用于计算具体的组合数, ,阶乘形式常用于对含阶乘形式常用于对含有字母的排列数的式子进行变形有字母的排列数的式子进行变形, ,所以该说法错误所以该说法错误.③.③正确正确. .当当两个组合的元素完全相同时两个组合的元素完全相同时, ,能得出这两个组合是相同组合能得出这两个组合是相同组合; ;当当两个组合相同时两个组合相同时, ,能得出它们的元素完全相同能得出它们的元素完全相同.④.④正确正确. .由定义由定义易知易知, ,取出的元素各不相同取出的元素各不相同, ,因此取了的不能再取了因此取了的不能再取了. .2.2.有有4 4名司机，名司机，4 4名售票员要分配到名售票员要分配到4 4辆汽车上，使每辆汽车上辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有( )( )【【解析解析】】选选C.C.司机、售票员各有司机、售票员各有 种分配方法，由分步乘法种分配方法，由分步乘法计数原理知共有计数原理知共有 种不同的分配方法．种不同的分配方法．3.3.某校一年级有某校一年级有5 5个班，二年级有个班，二年级有7 7个班，三年级有个班，三年级有4 4个班，分个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是是( )( )【解析】【解析】选选A.A.分三类：一年级比赛的场数是分三类：一年级比赛的场数是 ，二年级比赛，二年级比赛的场数是的场数是 ，三年级比赛的场数是，三年级比赛的场数是 ，再由分类加法计数，再由分类加法计数原理可知原理可知A A正确正确. .4 4．用数字．用数字1,2,3,4,51,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数组成的无重复数字的四位偶数的个数为为( )( )A.8 B.24 C.48 D.120A.8 B.24 C.48 D.120【解析】【解析】选选C.C.从从2 2，，4 4中取一个数作为个位数字，有中取一个数作为个位数字，有2 2种取法；种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有 种排法，由种排法，由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2× 2× ＝＝4848个，个，故选故选C.C.5.5.若若 ＝＝ . .【解析】【解析】因为因为 所以所以1313＝＝n n－－7 7，所以，所以n n＝＝2020，，所以所以 ＝＝190.190.答案：答案：1901906.(2013·6.(2013·大纲版全国卷大纲版全国卷) )从进入决赛的从进入决赛的6 6名选手中决出名选手中决出1 1名一等奖，名一等奖，2 2名二等奖，名二等奖，3 3名三等奖，则可能的决赛结果名三等奖，则可能的决赛结果共有共有 种种.(.(用数字作答用数字作答) )【解析】【解析】分三步：第一步，一等奖有分三步：第一步，一等奖有 种结果；第二种结果；第二步，二等奖有步，二等奖有 种结果；第三步，三等奖有种结果；第三步，三等奖有 种结种结果，故共有果，故共有 =6×10×1=60( =6×10×1=60(种种) )可能的结果可能的结果. .答案：答案：6060考点考点1 1 排列问题的应用排列问题的应用  【典例【典例1 1】】(1)(2014·(1)(2014·淄博模淄博模拟) )市内某公共汽市内某公共汽车站有站有6 6个候个候车位位( (成一排成一排),),现有有3 3名乘客随便坐在某个座位上候名乘客随便坐在某个座位上候车, ,则恰好有恰好有2 2个个连续空座位的候空座位的候车方式的种数是方式的种数是( (　　　　) )A.48A.48 B.54 B.54C.72C.72 D.84 D.84(2)(2013·(2)(2013·大大纲版全国卷版全国卷)6)6个人排成一行个人排成一行, ,其中甲、乙两人不相其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有的不同排法共有　　　　　　　　种种.(.(用数字作答用数字作答) )【解题视点】【解题视点】(1)6(1)6个候车位个候车位, ,有有3 3名乘客名乘客, ,故有三个空座位故有三个空座位, ,而而要求的恰好是要求的恰好是2 2个连续空座位的候车种数个连续空座位的候车种数, ,则空座位分为则空座位分为2 2个连个连续空座位和一个空座位续空座位和一个空座位, ,因此它们不相邻因此它们不相邻, ,需要插空需要插空. .(2)(2)甲、乙两人不相邻甲、乙两人不相邻, ,可采用插空法可采用插空法. .其他四个人的排列方式其他四个人的排列方式有有 种种,4,4个人有个人有5 5个空个空, ,从从5 5个空中选择两个插入甲、乙二人个空中选择两个插入甲、乙二人即可即可. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.由题意由题意, ,先把先把3 3名乘客全排列名乘客全排列, ,有有 种排法种排法, ,产生四个空产生四个空, ,再将再将2 2个连续空座位和一个空座位插入四个空中个连续空座位和一个空座位插入四个空中, ,有有 种排法种排法, ,则共有则共有 =72 =72种候车方式种候车方式. .(2)(2)将除去甲、乙的四人排成一行有将除去甲、乙的四人排成一行有 种排法种排法, ,四人中有四人中有5 5个空个空排甲、乙排甲、乙, ,有有 种排法种排法, ,所以共有所以共有 =480( =480(种种).).答案答案: :480480【互动探究】【互动探究】把第把第(2)(2)题中的题中的““甲、乙两人不相邻甲、乙两人不相邻””改为改为““甲、乙两人相邻甲、乙两人相邻””，则不同排法共有多少种？，则不同排法共有多少种？【解析】【解析】甲、乙两人相邻有甲、乙两人相邻有 种排法，这样甲、乙看作一个种排法，这样甲、乙看作一个人，则不同的排法共有：人，则不同的排法共有： =240( =240(种种).).【规律方法】【规律方法】求解排列问题的主要方法求解排列问题的主要方法直接法直接法把符合条件的排列数直接列式计算把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先法优先安排特殊元素或特殊位置优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法捆绑法相邻问题捆绑处理相邻问题捆绑处理, ,即可以把相邻元素看作一个即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列整体与其他元素进行排列, ,同时注意捆绑元素的同时注意捆绑元素的内部排列内部排列插空法插空法不相邻问题插空处理不相邻问题插空处理, ,即先考虑不受限制的元素即先考虑不受限制的元素的排列的排列, ,再将不相邻的元素插在前面元素排列的再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中空中除法除法对于定序问题对于定序问题, ,可先不考虑顺序限制可先不考虑顺序限制, ,排列后排列后, ,再再除以定元素的全排列除以定元素的全排列间接法间接法正难则反正难则反, ,等价转化的方法等价转化的方法【变式训练】【变式训练】某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节目单，个节目已排成节目单，开演前又增加了开演前又增加了2 2个新节目．如果将这个新节目．如果将这2 2个新节目插入原节目单个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为中，那么不同插法的种数为( )( )A.42 B.96 C.48 D.124 A.42 B.96 C.48 D.124 【解析】【解析】选选A.A.方法一：分两种情况：方法一：分两种情况：(1)(1)增加的增加的2 2个新节目相连，个新节目相连，(2)(2)增加的增加的2 2个新节目不相连；故不个新节目不相连；故不同插法的种数为同插法的种数为 =42 =42．．方法二：方法二：7 7个节目的全排列为个节目的全排列为 ，两个新节目插入原节目单，两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为中，那么不同插法的种数为 =42. =42.【加固训练】【加固训练】1.1.数字数字1 1，，2 2，，3 3，，4 4，，5 5组成没有重复数字的五位数，其中小于组成没有重复数字的五位数，其中小于50 00050 000的偶数共有的偶数共有( )( )A.60A.60个个 B.48 B.48个个 C.36 C.36个个 D.24 D.24个个【解析】【解析】选选C.C.由题意，符合要求的数字共有由题意，符合要求的数字共有2× =36(2× =36(个个).).2.2.有有5 5个不同的红球和个不同的红球和2 2个不同的黑球排成一列，其中红球甲个不同的黑球排成一列，其中红球甲和黑球乙相邻的排法有和黑球乙相邻的排法有( )( )A.720A.720种种 B.768 B.768种种 C.960 C.960种种 D.1 440 D.1 440种种【解析】【解析】选选D.D.两个元素相邻的问题，一般用捆绑法，把红球甲两个元素相邻的问题，一般用捆绑法，把红球甲和黑球乙看作一个元素，则问题变为和黑球乙看作一个元素，则问题变为6 6个元素在个元素在6 6个位置进行排个位置进行排列，红球甲和黑球乙两个元素之间还有一个排列，故共有列，红球甲和黑球乙两个元素之间还有一个排列，故共有=1 440(=1 440(种种).).3.3.将红、黄、蓝、白、黑将红、黄、蓝、白、黑5 5种颜色的小球放入红、黄、蓝、种颜色的小球放入红、黄、蓝、白、黑白、黑5 5种颜色的口袋中，但红口袋不能装入红球，则有种颜色的口袋中，但红口袋不能装入红球，则有____________种不同的放法种不同的放法. .【解析】【解析】因为红口袋不能装入红球，所以红球只能放在黄、因为红口袋不能装入红球，所以红球只能放在黄、蓝、白、黑蓝、白、黑4 4种颜色的口袋中，所以红球有种颜色的口袋中，所以红球有 种放法，其余的种放法，其余的四个球在四个位置全排列有四个球在四个位置全排列有 种放法，由分步乘法计数原理种放法，由分步乘法计数原理得到不同的放法共有得到不同的放法共有 =96( =96(种种).).答案：答案：96 96 考点考点2 2 组合问题的应用组合问题的应用【典例【典例2 2】】(1)(1)若从若从1,2,3,…,91,2,3,…,9这9 9个整数中同个整数中同时取取4 4个不同的数个不同的数, ,其和其和为偶数偶数, ,则不同的取法共有不同的取法共有( (　　　　) )A.60A.60种种 B.63 B.63种种 C.65 C.65种种 D.66 D.66种种(2)(2014·(2)(2014·广州模广州模拟) )某学校开某学校开设A A类选修修课3 3门,B,B类选修修课4 4门, ,一一位同学从中共位同学从中共选3 3门, ,若要求两若要求两类课程中各至少程中各至少选一一门, ,则不同的不同的选法共有法共有　　　　　　　　种种.(.(用数字作答用数字作答) )  【解题视点】【解题视点】(1)(1)分全是偶数、全是奇数、两奇两偶三种情况分全是偶数、全是奇数、两奇两偶三种情况进行分类计数进行分类计数. .(2)(2)由题意分类由题意分类:①A:①A类选修课选类选修课选1 1门门,B,B类选修课选类选修课选2 2门门, ,确定选法确定选法;②A;②A类选修课选类选修课选2 2门门,B,B类选修课选类选修课选1 1门门, ,确定选法确定选法; ;然后求和即可然后求和即可. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.全是奇数时，有全是奇数时，有 =5( =5(种种) )；全是偶数；全是偶数时，有时，有 =1( =1(种种) )；两奇两偶时，有；两奇两偶时，有 =60( =60(种种) )，故共有，故共有6666种种. .(2)(2)分以下分以下2 2种情况：种情况：①A①A类选修课选类选修课选1 1门，门，B B类选修课选类选修课选2 2门，门，有有 种不同的选法种不同的选法. .②A②A类选修课选类选修课选2 2门，门，B B类选修课选类选修课选1 1门，有门，有 种不同的选法．种不同的选法．所以不同的选法共有所以不同的选法共有 =18+12=30( =18+12=30(种种) )．．答案：答案：3030【易错警示】【易错警示】分类讨论不全面致误分类讨论不全面致误　　在本例的两个题中都涉及分类讨论　　在本例的两个题中都涉及分类讨论, ,很容易因讨论不全面很容易因讨论不全面, ,使得解答不全面使得解答不全面, ,从而导致答案不正确从而导致答案不正确. .【规律方法】【规律方法】1.1.组合问题的常见题型及解题思路组合问题的常见题型及解题思路(1)(1)常见题型常见题型: :一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等题、分组问题等. .(2)(2)解题思路解题思路:①:①要在仔细审题的基础上要在仔细审题的基础上, ,分清问题是否为组合分清问题是否为组合问题问题;②;②对较复杂的组合问题对较复杂的组合问题, ,要搞清是要搞清是““分类分类””还是还是““分步分步”,”,一般是先整体分类一般是先整体分类, ,然后局部分步然后局部分步, ,将复杂问题通过两个原将复杂问题通过两个原理化归为简单问题理化归为简单问题. .2.2.含有附加条件的组合问题的常用方法含有附加条件的组合问题的常用方法通常用直接法或间接法通常用直接法或间接法, ,应注意应注意““至少至少”“”“最多最多”“”“恰好恰好””等等词的含义的理解词的含义的理解, ,对于涉及对于涉及““至少至少”“”“至多至多””等词的组合问题等词的组合问题, ,既可考虑反面情形即间接求解既可考虑反面情形即间接求解, ,也可以分类研究进行直接求解也可以分类研究进行直接求解. .提醒提醒: :区分一个问题是排列问题还是组合问题区分一个问题是排列问题还是组合问题, ,关键在于是否与关键在于是否与顺序有关顺序有关. .【变式训练】【变式训练】从从6 6名女生，名女生，4 4名男生中，按性别采用分层抽样名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取的方法抽取5 5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为为( )( )【解析】【解析】选选A.A.根据题意，即从根据题意，即从6 6名女生，名女生，4 4名男生中抽取名男生中抽取3 3名女名女生，生，2 2名男生组成课外小组，则从名男生组成课外小组，则从6 6名女生中抽取名女生中抽取3 3名女生有名女生有 种情况，从种情况，从4 4名男生中抽取名男生中抽取2 2名男生有名男生有 种情况，由分步种情况，由分步乘法计数原理，可得共乘法计数原理，可得共 种情况种情况. .【加固训练】【加固训练】1.1.把三张游园票分给把三张游园票分给1010个人中的个人中的3 3人，分法有人，分法有( )( )【解析】【解析】选选B.B.三张票没区别，从三张票没区别，从1010人中选人中选3 3人即可，即人即可，即2.2.从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人担任奥运志愿者，若选出的人担任奥运志愿者，若选出的4 4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 种．种．【解析】【解析】( (间接法间接法) )共有共有 ＝＝34(34(种种) )不同的选法．不同的选法．答案：答案：34 34 考点考点3 3 排列、组合的综合应用排列、组合的综合应用 【考情】【考情】高考高考对排列、排列、组合要求的特点是基合要求的特点是基础和全面和全面, ,都是以考都是以考查基本概念、基基本概念、基础知知识和运算和运算为主主, ,能力要求主要是以考能力要求主要是以考查分析分析问题和解决和解决问题为主主, ,多以多以选择题和填空和填空题的形式出的形式出现. .高频考点高频考点通　关通　关 【典例【典例3 3】】(1)(2012·(1)(2012·北京高考北京高考) )从从0,20,2中中选一个数字一个数字, ,从从1,3,51,3,5中中选两个数字两个数字, ,组成无重复数字的三位数成无重复数字的三位数. .其中奇数的个数其中奇数的个数为( (　　　　) )A.24 B.18 C.12 D.6A.24 B.18 C.12 D.6(2)(2013·(2)(2013·浙江高考浙江高考) )将将A,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,F六个字母排成一排六个字母排成一排, ,且且A,BA,B均在均在C C的同的同侧, ,则不同的排法共有不同的排法共有　　　　　　　　种种( (用数字作答用数字作答).).【解题视点】【解题视点】(1)(1)考虑特殊元素考虑特殊元素0,0,与特殊位置个位与特殊位置个位. .如果选如果选0,0,则则0 0只能在十位只能在十位, ,个位必须是奇数个位必须是奇数. .(2)(2)按照要求先排按照要求先排A,B,C,A,B,C,剩下的再排剩下的再排D,E,F.D,E,F.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.当从当从0 0，，2 2中选取中选取2 2时，组成的三位奇数的个位只能是时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，十位百位全排列即可，共有奇数，十位百位全排列即可，共有 =12( =12(个个).).当选取当选取0 0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0 0必须在十位，共有必须在十位，共有 =6( =6(个个).).综上，共有综上，共有12+6=18(12+6=18(个个).).(2)(2)分两步分两步: :①①任意选任意选3 3个空排个空排A,B,C,A,B,C,共有共有 种排法种排法; ;②②再排其余再排其余3 3个字母个字母, ,共有共有 种排法种排法; ;所以一共有所以一共有=480(=480(种种) )排法排法. .答案：答案：480480【通关【通关锦囊】囊】高考指数高考指数重点重点题型型破　解　策　略破　解　策　略◆◆◆◆◆◆分配分配问题1.1.相同元素的相同元素的““分配分配””问题, ,常用的常用的方法是采用方法是采用““隔板法隔板法””2.2.不同元素的不同元素的““分配分配””问题, ,利用分利用分步步计数原理数原理, ,分两步完成分两步完成, ,第一步是第一步是分分组, ,第二步是第二步是发放放3.3.限制条件的分配限制条件的分配问题采用分采用分类法法求解求解◆◆◆◆◆◆多元多元问题元素多元素多, ,取出的情况也有多种取出的情况也有多种, ,可按可按结果要求分成不相容的几果要求分成不相容的几类情况分情况分别计数数, ,最后最后总计高考指数高考指数重点重点题型型破　解　策　略破　解　策　略◆◆◇◆◆◇定位定位问题某个或几个元素要排在指定位置某个或几个元素要排在指定位置, ,可先排可先排这个或几个元素个或几个元素, ,再排其他再排其他的元素的元素◆◆◇◆◆◇选排排问题从几从几类元素中取出符合元素中取出符合题意的几个意的几个元素元素, ,再安排到一定位置上再安排到一定位置上, ,可用先可用先取后排法取后排法【关注题型】【关注题型】◆◇◇◆◇◇多排多排问题把元素排成几排的把元素排成几排的问题可可归结为一一排考排考虑, ,再分段再分段处理理【特别提醒】【特别提醒】排列组合的综合题目排列组合的综合题目, ,一般是先取出符合要求的一般是先取出符合要求的元素组合元素组合, ,再对取出的元素排列再对取出的元素排列, ,分组时要注意分组时要注意““平均分组平均分组””与与““不平均分组不平均分组””的差异及分类的标准的差异及分类的标准. .【通关【通关题组】】1.(2013·1.(2013·四川高考四川高考) )从从1,3,5,7,91,3,5,7,9这五个数中五个数中, ,每次取出两个不每次取出两个不同的数分同的数分别为a,b,a,b,共可得到共可得到lga-lgblga-lgb的不同的不同值的个数是的个数是( (　　　　) )A.9A.9B.10B.10C.18C.18D.20D.20【解析】【解析】选选C.C.由于由于lga-lgb=lg ,lga-lgb=lg ,从从1,3,5,7,91,3,5,7,9中取出两个不同中取出两个不同的数分别赋值给的数分别赋值给a a和和b b共有共有 =20( =20(种种) )结果结果, ,而得到相同值的是而得到相同值的是1,31,3与与3,93,9以及以及3,13,1与与9,39,3两组两组, ,所以满足题意的共有所以满足题意的共有1818组组, ,故选故选C.C.2.(2013·2.(2013·山东高考山东高考) )用用0 0，，1 1，，……，，9 9十个数字，可以组成有重十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为复数字的三位数的个数为( )( )A.243 B.252 C.261 D.279A.243 B.252 C.261 D.279【解析】【解析】选选B.B.组成三位数个数为组成三位数个数为9×10×10=900.9×10×10=900.没有重复数没有重复数字的三位数有字的三位数有 =648( =648(个个),),所以有重复数字的三位数的个所以有重复数字的三位数的个数为数为900900－－648=252.648=252.3.(2014·3.(2014·肇庆模拟肇庆模拟) )用用6 6种不同颜色给图中的种不同颜色给图中的““笑脸笑脸””涂色，涂色，要求要求““眼睛眼睛”(”(即图中即图中A A，，B B所示的区域所示的区域) )用相同颜色，则不同的用相同颜色，则不同的涂法共有涂法共有 种种( (用数字作答用数字作答).).【解析】【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，可以分为三种由题意知本题是一个分类计数问题，可以分为三种情况讨论，一共用了情况讨论，一共用了3 3种颜色，共有种颜色，共有 =120 =120种结果，一共用种结果，一共用了了2 2种颜色种颜色. .共有共有 =90 =90种结果，一共用了种结果，一共用了1 1种颜色，共有种颜色，共有6 6种结果，所以根据分类计数原理知，共有种结果，所以根据分类计数原理知，共有120+90+6=216.120+90+6=216.答案：答案：216216【加固训练】【加固训练】1.(2012·1.(2012·新课标全国卷新课标全国卷) )将将2 2名教师，名教师，4 4名学生分成名学生分成2 2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由由1 1名教师和名教师和2 2名学生组成，不同的安排方案共有名学生组成，不同的安排方案共有( )( )A.12A.12种种 B.10 B.10种种 C.9 C.9种种 D.8 D.8种种【解析】【解析】选选A.A.将将4 4名学生均分为名学生均分为2 2个小组共有个小组共有 =3 =3种分法；种分法；将将2 2个小组的同学分给两名教师共有个小组的同学分给两名教师共有 =2 =2种分法，种分法，最后将两个小组的人员分配到甲、乙两地有最后将两个小组的人员分配到甲、乙两地有 =2 =2种分法种分法. .故不同的安排方案共有故不同的安排方案共有3×2×2=123×2×2=12种种. .2.(2014·2.(2014·上海模拟上海模拟) )某班班会准备从含甲、乙的某班班会准备从含甲、乙的7 7名学生中选名学生中选取取4 4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为数为 . .【解析】【解析】根据题意，分两种情况讨论，根据题意，分两种情况讨论，若甲、乙其中一人参加，有若甲、乙其中一人参加，有 =480 =480种情况种情况. .若甲、乙两人都参加，有若甲、乙两人都参加，有 =240 =240种情况，其中甲、乙种情况，其中甲、乙相邻的有相邻的有 =120 =120种情况种情况, ,则不同的发言顺序种数为则不同的发言顺序种数为480+240-120=600.480+240-120=600.答案：答案：600600【易错误区】【易错误区】在排列、组合的实际问题中重复计算出错致误在排列、组合的实际问题中重复计算出错致误【典例】【典例】5 5本不同的本不同的书全部分全部分给4 4个学生个学生, ,每个学生至少一本每个学生至少一本, ,不不同的分法种数同的分法种数为　　　　　　　　. .【解析】【解析】答案：答案：【误区警示】【误区警示】【规避策略】【规避策略】【类题试解】【类题试解】某交通岗共有某交通岗共有3 3人，从周一到周日的七天中，人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值每天安排一人值班，每人至少值2 2天，其不同的排法共天，其不同的排法共有有 种种. .【解析】【解析】先把从周一到周日的七天分成三组先把从周一到周日的七天分成三组, ,即即再利用排列分给三个人有再利用排列分给三个人有 种排法，种排法，因此共有：因此共有： =630( =630(种种).).答案：答案：630630【巧思妙解【巧思妙解1111】】正难则反解决排列组合问题正难则反解决排列组合问题【典例】【典例】安排安排3 3名支教教名支教教师去去4 4所学校任教所学校任教, ,每校至多每校至多2 2人人, ,则不同不同的分配方法共有的分配方法共有　　　　　　　　种种.(.(用数字作答用数字作答) ) 【常规解法】【常规解法】3 3人去了人去了3 3所不同学校有所不同学校有 种方法，有种方法，有2 2人去了一所学校，另人去了一所学校，另一人去了另一所学校共有一人去了另一所学校共有 种方法，所以共有种方法，所以共有 =60(=60(种种).).答案：答案：6060【解法分析】【解法分析】对问题进行分类利用排列组合直接求解，直接求解容易出现重对问题进行分类利用排列组合直接求解，直接求解容易出现重复的情况，且计算较复杂，易出错复的情况，且计算较复杂，易出错. .【巧妙解法】【巧妙解法】安排安排3 3名教师共名教师共4 43 3种方法，从中种方法，从中排除排除3 3人均在其中一所学校的情况共人均在其中一所学校的情况共4 4种种，，所以所以4 43 3－－4=60(4=60(种种).).答案：答案：6060【妙解分析】【妙解分析】阴影处先不管其中某些限制条件，求出其种数，再剔除不合题阴影处先不管其中某些限制条件，求出其种数，再剔除不合题意部分即可，选择哪种方法的依据是意部分即可，选择哪种方法的依据是““正难则反正难则反””，此种解法，此种解法可以避免复杂的分类，且计算较简便可以避免复杂的分类，且计算较简便. .【小试牛刀】【小试牛刀】高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有自由选择，则不同的分配方案有 种种. .【解析】【解析】常规解法：满足题意的不同的分配方案有以下三类：常规解法：满足题意的不同的分配方案有以下三类：(1)(1)三个班中只有一个班去甲工厂有三个班中只有一个班去甲工厂有 ×3 ×32 2=27(=27(种种) )方案方案. .(2)(2)三个班中只有两个班去甲工厂有三个班中只有两个班去甲工厂有 ×3=9( ×3=9(种种) )方案方案. .(3)(3)三个班都去甲工厂有三个班都去甲工厂有1 1种方案种方案. .综上可知：共有综上可知：共有27+9+1=37(27+9+1=37(种种) )不同方案不同方案. .答案：答案：3737巧妙解法：用间接法巧妙解法：用间接法. .先计算先计算3 3个班自由选择去何工厂的总数，个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×44×4×4－－3×3×3= 37(3×3×3= 37(种种) )方方案案. .答案：答案：3737。