集合常见错误分析.doc

集合问题中常见错误分析集合问题中常见错误分析朝阳区丁益祥特级教师工作室 周明芝解集合问题时，若对集合的基本概念理解不透彻，或思考不全面，常常致错，为此， 本文对集合解题时提出几点注意，希望引起重视．1. 注意集合中元素的含义注意集合中元素的含义集合中元素是有一定意义的，对此，稍有疏忽就会导致解题失误．例例 1. 设，，则Ax yxyx yN( , )|,*46，Bx yxyx yN( , )|, ,*327___________．ABI错解错解：由方程组 解得： 故．46, 327xy xy 1, 2.x y ABI 12，错因分析错因分析：导致错误的原因是没有正确理解集合元素的含义，A、B 中的元素是有序数对，即表示平面直角坐标系中的点，故．ABI ()12，2. 注意集合中元素的互异性注意集合中元素的互异性集合中任何两个元素都是不同的，相同元素归入同一集合时只能算作一个元素，因此 集合中元素是没有重复的，忽视互异性会引出错解．例例 2．．已知集合，集合，如果，求的值．Aa {}13， ，Baa{}112，BAa错解错解：若，即，则或；aa213aa220a  1a  2若，即，则．aaa21aa2210a  1综上，所求的值为-1，1，2．a错因分析错因分析：当时，A 中有两个相同的元素 1，与集合元素的互异性矛盾，因此a  1 应舍去，所以满足题意的值为-1，2．a  1a3. 注意注意的特殊性的特殊性是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，与任何集合的并集等于集合本身， 忽视它的特殊性，同样会造成解题错误．例例 3. 已知集合，若，求由实数组Ax axBx xx||105602，ABa成的集合 C．错解错解：因为，AaBAB  178，，，所以，即，所以． 1718aa或aa 1 71 8或C 1 71 8，错因分析错因分析：导致错误的原因是漏掉的情形，当时，亦满足条件，可得A  a  0A  ．C 01 71 8，，4. 注意取等的可能性注意取等的可能性例例 4. 已知，，且AxxBy yxaxA |,|12，Cz zxxA|,2，求实数的取值范围．BCCUa分析：由已知得：，，|12By aya |04Czz由得，又，知，BCCUBC12aa B  故有 解得．10,24.aa  12a注：不要忽略的情况．a 245. 注意参数范围的等价性注意参数范围的等价性当参数包含于多个元素的表达式时，运算过程中容易扩大参数的取值范围，应注意检 验，否则会发生错解．例例 5. 已知集合，且，AaaBaaa 31312122，，，，，ABI 3求实数的值．a错解错解：由，知，即． ABI 333213aa   或01aa 或错因分析错因分析：当时，，a  0AB  301311， ，，， ，此时矛盾，应舍去．ABI 31，，与ABI  36. 注意分类讨论的重要性注意分类讨论的重要性例例 6. 已知集合，若，且，求ABx xaxb 11202，，|B  ABAU实数和的值．ab分析：因为，故，又，故 B 中含一个或两个元素，通过讨ABAUBAB  论，可求出：0,1,1,111.aaabbb   或或7. 注意条件隐含性注意条件隐含性例例 7. 全集，，，求实数的值．22,3,23Saa|21| 2Aa，5SA ða错解：错解：因为，所以，从而．5SA ð55SA且aa2235解得：．aa 24或错因分析错因分析：导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为 S 是全集，所以．AS当，符合题意；aaS2213时，||当时，，不符合题意，故．a  4||219aSa  2注：在解有关含参数的集合题时，需要进行验证结果是否满足题中的条件（包含隐含条件） ．高高考考集合集合问问题题常见类型解析常见类型解析湖南省 黄爱民 赵长春 集合是高中数学中最基本的概念， 也是历年高考的必考点.本文结合近年高考集合题， 对其常见类型加以分类解析，供参考。

一、概念运算型一、概念运算型例 1、 （2005 年全国卷Ⅰ）设为全集，是的三个非空子I321SSS、、I集，且，则下面论断正确的是( )ISSS321一 一S1S2S3（A） （B））（321SSSCI123IISC SC S（）（C）（D）123IIIC SC SC S 123IISC SC S（）解析：只要作出如图一所示的韦恩图，不难发现正确答案为C例 2、 （20052005 年年上海卷）已知集合，RxxxM, 2|1||，则等于 （）  ZxxxP, 115|PM IA．BC D．Zxxx, 30|Zxxx, 30|Zxxx, 01|Zxxx, 01|解析：通过解不等式化简集合，，从而| 13Mxx | 14,PxxxZ 易知正确答案为B 评析：评析：集合概念关系题主要考查集合的基本概念和基本运算，常用解法是定义法、列举法、 性质法、韦恩图法及语言转换法等 二、知识结合型二、知识结合型例 3、（2000 年全国高考题）设集合 A 和 B 都是自然数 N，映射 f：A→B 把集合 A中的 元素 n 映射到集合B中的元素2n+ n，则在映射 f 下，象20的原象是（ ）(A)2(B)3 (C) 4(D) 5解析：本题是映射与集合的综合题，由题意知是求关于n的方程2n+ n =20的解，由选 支的数字较小，可试算： 24＋4=20，故有 n= 4，而选(C).例4、（2002上海春，3）若全集I=R R，f（x） 、g（x）均为x的二次函数，P={x|f（x）＜0}，Q={x|g（x）≥0}，则不等式的解集可用P、Q表示为_____.   0)(0)( xgxf解析：本题考查用集合语言表示不等式组的解集。

可用集合的交集、补集表示答案为： )0( )0( )0( )0f xf xg xg x Q且RPC QI评析：评析：这类题型主要是将集合与不等式、 三角函数、 解析几何等知识结合， 形成多知识点的 综合问题，解题的关键在于灵活运用有关知识. 三、组合计数型三、组合计数型 例5（2000 年广东，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（ ）A.15 B.16 C.3 D.4解析： (公式法)当集合内含n个元素时，它有2n用 寿 命-1个子集，故有24-1=15，选A.例6、(1999年全国高考题)已知映射 f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2， 3，4 }，集合B的元素都是A中元素在 f 下的象，且对任意的a∈A，在 B中和它对应的元 素是│a│，则集合B中元素的个数是( )(A) 4 (B) 3 (C) 6 (D) 7 解析： 本题题意叙述虽长,但转换成图表语言, 则易得4个，知选(A). 评析：评析：这类题型是指以集合为背景， 求子集的个数、 集合中元素的个数等 .常用解法是（真） 子集的个数公式法、图表法、组合数公式法等。

四、定义创新题四、定义创新题 例例 7 7、、 （（2005 年湖北卷）湖北卷）设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q=，则 P+Q 中元素的个数是（）},5 , 2 , 0{},,|{PQbPaba若}6 , 2 , 1{QA．9B．8C．7D．6解：由P+Q=的定义，分别从P、Q中任取一个元素各有3种方法，但 {|,}ab aP bQ“0+6=1+5” 考虑到集合元素的互异性故P+Q中元素的个数为：从而选B3 3 18   评析：抓住定义、揭示定义本质是解决这类问题的关键 五、五、结论开放型结论开放型 例8、 （2000上海春，12）设I是全集，非空集合P、Q满足P Q I.若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是  （只要写出一个表达式）解析：如图三所示阴影部分为显然，所求表达式为RC Q，或或RC QPI()RC PII()RC PIU评析：评析：本题考查集合的关系及运算已知集合的运算结果， 写出集合运算的可能表达式， 这 类题往往具有一定的开放性 六、综合运用型六、综合运用型例 9 (2000 年上海春季高考题)“a =1”是“函数 y=cos2ax－sin2ax 的最小正周期 为”的( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C)充要条件 (D)不充分也不必要条 件解 ：由函数 y=cos2ax－sin2ax=cos2ax的最小正周期为可得a=1. 设 M ={a│a=1}={ 1 }，N={a│a=±1}={ 1，－1 }，有所以应选(A). 评析：评析：有些高考题表面上看不一定是考查集合知识，但若灵活运用集合知识，则能突破解 题难点，优化解题思路，甚至能避免分类讨论. 如用集合法解决充要条件问题、用补集法 解题等. 当所判断的命题与方程的根、 不等式、 集合相关时， 可利用集合间包含关系进行判定。

设条件A、B对应的非空集合分别为A、B，则① 若(或，则A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件；BA BA② 若(或，则A是B的必要不充分条件，B是A的充分不必要条件；AB AB③ 若，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；()ABBA或④ 若，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；()ABBA或⑤ 若A＝B，则A是B的充要条件； ⑥ 若A、B无包含或相等关系，则A是B的 既不充分条件也不必要条件。