广东省2021年专升本考试《高等数学》真题和答案解析.docx

机密★启用前广东省2021年普通高等学校专升本招生考试高等数学本试卷共4页，20小题，满分100分考试时间120分钟注意専項：1. 考生必须在答题卡上作答，否则答案无效2. 答卷前，考生务必按答题卡要求填写考生信息栏、粘贴条形码3. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应试题答案的信息点涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案4. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔在答题卡各题目指定区域内作答；如需改动，先 划掉需改动部分，再重新书写；不得使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将木试卷和答题卡一并交回一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共 得分 15分，每小题只有一项符合题目要求). ..tan6x ( 、1. hm =( )2xA. 1 B.2 C. 3 D.42. 点x = 3是 f(x)=X'~X~6 的()x-3A.连续点 B.可去冋断点 C.无穷间断点 D.跳跃间断点3. 设F(x)是/(X)的一个原函数，C为任意函数，则下列正确的是()A. \F(x)dx = f(x) B. F'(x) = f(x) + CC. /'(x) = F(x) + C D. \f(x)dx = F(x) + C84. 设常数项级数Z"”收敛，则下列收敛的是()w=l广垂賓2些L字養連卤史楚校专固冬括生才魂 孩.数孕 重1只 关4貝设 f (x) = £ sin奇，g(x) = 3x6 + 4x5,当 x->0 时(A. /(x)比g(x)低阶无穷小B. /(x)比g(x)高阶无穷小C.，(x)与g(x)等价无穷小D.，(x)与g(x)同阶非等价无穷小二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)得分阅卷人6. 二尤3在心相应的点处切线斜率为求z = x>的全微分也= 8.dx 已知~d^=y+2,求在初始条件)'島=-1下的特解为*设平面区域D = {(x,y)|0y<3-x!,则如的值为.9. 10.设连续函数/(x)满足#"'/。

泌=一2# + 1 ,则/(3)= 三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)得分阅卷人 11.求极限 lim x(Vx2+3-x). 12.设y = 2x+xx(x >0),求虫dx13.求不定积分J(x + 5)cos3xdx14.求定积分原广衣尚2021年普通商等学校专升本招生考试 为丑数孕 第4頁迭4貢15.已知z = z(x,*)是由方程-xz = \所确定的隐函数，求：+半.dx oy16.已知区域D是由曲线x2+y2<4与坐标轴在第一象限所围成的平面区域，求二重积分的收敛性x? x < 218. 设/(x) = r ? X_ ,已知F(x) = [' f(t)dt .求P(x)表达式，并讨论尸(X)在6-x, x >2J Jo'x = 2处的连续性四、综合题（本大題共2小题，第19小题10分，第 得分 阅卷人 20小题12分，共22分） 19. 做一个容积为64勿立方米的圆柱形无盖容器，底面与侧面材质相同且厚度不计 问：底而半径为何值时，才能使所用材料最省？20. 过坐标原点作曲线y = \nx的切线L,该切线与直线x = l及y = lnx围成平面图形D.（1） 求切线L的方程；（2） 求平面图形D的面积A。

广东省2021年普通高等学校专升本招生考试高等数学参考答案一、 单项选择题1. 【答案】c【解析】limtan6x=(im6x=3—0 2x 宀0 2x2. 【答案】B【解析】lim " _』_ 6 = lim二3)(、坦=阮(x+ 2) = 5，极限存在，故为可去间 XT3 X 3 x-*3 X — 3 13断点3. 【答案】D【解析】由不定积分与原函数的关系得D选项正确4. 【答案】C【解析】A选项调和级数£丄发散：B选项显然发散：D选项p =-的P级数发散25. 【答案】B【解析】1而/坦= lim£*V = lim為0" ^=o.g(x) i° 3x + 4x I18x + 20x 》项 9x +10二、 填空题6. 【答案"3【解析】空= 21,虫=6已虫=空.也=丄，当,=1时，空=丄，故切线的 dt dt dx dt dx dx 3斜率为亍7. 【答案】2xydx + x2dy【解析】dz=^-dx + ^-dy = 2xydx + x2dy. ox dy8. 【答案】e、_2【解析】^ = y + 2^-^—dy = dx ,等式两边同时积分得 dx y + 2，代入初始条件解得C = 0.j— dy = j ln(y + 2) = x + C故ln(y + 2) = x=> y = ex-2 .9. 【答案】-2【解析】积分区域为梯形区域，此二重积分的意义即为求梯形面积，仃」(2 + 3)xl 5 故 llda = ^^=2-D 匕 匕10. 【答案】-3【解析】等式两边同时对x求导得2f(2x + 1) = -6x2 n f(2x + 1) = -3x2,令x = l可得，，⑶= -3.三、计算题11. 【解析】lim x(4x^-x) = lim= 1血.3x = 1if Vx2+3 + x 12JF+3+X 212.13.【解析】y = 2x +xx =2X +exinx故虫=(2、)' + (，岫)，=2、in2 + /" . (Inx+1) = 2*ln2 + x*(lnx+1). dx【解析】j (2x + 5) cos 3xdx = J 2x cos 3xdx + J 5 cos 3xdx = 2xd sin 3x + }in 3x= ^(2xsin3x-2|sin3xt/x)+ |sin3x= ：(2xsin3x+ |cos3x) + ^sin3x + C2 2 5=—xsin3x + —cos3x+ -sin3x + C.3 9 314. 【解析】=J： ——(x2 +1) = ln(x2 +1) |*= In 5 - In 1 = In 5 .15. 【解析】令F(x9y,z) = e:y-xz-i .则F：=—z, F； = z/ , F^ye^-x,dz F； z dz F； 一 z/' " dz z-ze^'dx F； ye^ -x dy F； ye^ - x dx dy yezy - x16. 【解析】将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分可得0o>'〃 +1)、2〃 + 3 丿'〃 +1<2« + 32/7 + 1丄 im(2〃：3〃 + l)“21” 2n~ +3nw—>cci+2n2+3n] 、31 2+Ji2n2 +3/72n2+3nr n + \ A " + 1 丫lim‘2〃 + 3丿〔、2〃 + 为e ( n y广东堂2021牛*遠禹等孕枕专升本招生考义去寸賽案 弗丑致孕 第4项 共5頁=—lim/”*” = —e° = _< 1,2 i 2 2由比值审敛法知原级数收敛。

18. 【解析】当x<2时，F(x) =『2出=卜3,当x>2 时，F(x) = t2dt + J*(6 -z>/r = -+ (6/ - —r2) X=6x- —%2 -—0 2 3 2 2 2 3^x\x<2「 1 2 22 cox—x ,x>22 3由于F(2)= lim F(x) = -, lim F(x) = ~,故函数在x = 2处函数值等于极限值, .«->2- 3 3即F(x)在x = 2处是连续的四、综合题19. 【解析】设底面半径为/•，容器高为容器的表面积为S,64 由圆柱体体积公式得V = 7rr2h = 64汗n人=-y ,而S =汗产+ 27crh = 7Tr2 + —n , S'(r) = 2小•一嶂勿=戮广于所令s'（尸）=0=＞尸=4,此为唯一驻点，故当半径为4米时，表面积S有最小值，此时 用料最省20.【解析】（1）设切点坐标为（x0,lnx0）,切线的斜率为*' = |.心丄,xo故切线方程为卜一血工0=丄（》一工0），工0已知切线厶经过坐标原点（0,0）,代入曲线可得x0=e,故切线方程为y e广东堂2021牛*遠禹等孕枕专升本招生考义去寸賽案 弗里致孕 第5项 共5頁。