第四节 电场强度通量 高斯定理.docx

7-4 电场强度通量 高斯定理为了更形象地描述电场，这一节将在介绍电场线的基础上，引进电场强度通量的概念；并导出静 电场的重要定理——高斯定理一、电场线下图是几种带电系统的电场线 在电场线上每一点处电场强度 E 的方向沿着该点的切线，并以电场线箭头的指向表示电场强度的方向 电场线密度越大，该处的电场强度越大静电场的电场线有如下特点：（ 1）电场线总是始于正电荷，终止于负电荷，不形成闭合曲 线；（2）任何两条电场线都不能相交，这是因为电场中每一点处的电场强度只能有一个确定的 方向图 7-12为了给出电场线密度与电场强度间的数量关系，我们对电场线的密度作如下规定：经过电场 中任一点，想像地作一个面积元dS,并使它与该点的E垂 直（上图），由于dS很小，所以dS面上各点的E可认为是相同的，则通过面积元dS的电场线数dN与该点E的大小有如下关系：dN = EdSdS （ 7-8）dN 这就是说，通过电场中某点垂直于E的单位面积的电场线数等于该点处电场强度E的大小dS 也叫做电场线密度电场强度通量我们把通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电场强度通量，用符号匕表示如下图（左）所示这是一个匀强电场，匀强电场的电场强度处处相等，所以电场线密度也应 处处相等。

这样，通过面 S 的电场强度通量为①=ESe如果平面S与匀强电场的E不垂直，那么面S在电场空间可取许多方位为了把面S在电场 中的大小和方位两者同时表示出来，我们引入面积矢量S,规定其大小为S,其方向用它的单位 法线矢量e来表示，有S=Se在上图（中）中，面S的单位法线矢量e与电场强度E之间的夹角 n n n为°因此，这时通过面S的电场强度通量为①=ES cos °e由矢量标积的定义可知，①=E - S — E - e Sen如果电场是非匀强电场，并且面 S 不是平面，而是任意曲面［上图（右）］则可以把曲面分成 无限多个面积元dS，每个面积元dS都可看成是一个小平面，而且在面积元dS 上, E也可以看成 处处相等仿照上面的办法，若e为面积元dS的单位法线矢量，则e dS=dSo如设面积元dS nn的单位法线矢量e与该处的电场强度E成°角，于是，通过面积元dS的电场强度通量为nd0 — EdS cos ° — E - dSe所以通过曲面S的电场强度通量①e，就等于通过面S上所有面积元dS电场强度通量叫的总和，即①=J d0 =J E cos0dS = J E - dS ( 口 门、e s e s s (7-9 )式中“'s ”表示整个曲面S进行积分。

如果曲面是闭合曲面，式(7-9)中的曲面积分应换成对闭合曲面积分，闭合曲面积分用“ s ”表示，故通过闭合曲面的电场强度通量为①=f E cosOdS = f E - dSe s s (7-10)一般来说，通过闭合曲面的电场线，有些是“穿进”的，有些是“穿出”的 这也就是说， 通过曲面上各个面积元的电场强度通量d0e有正、有负为此规定：曲面上某点的法线矢量的 方向是垂直指向曲面外侧的例 求在匀强电场中，通过一闭合三棱柱的电场强度通量例 如图所示，有一个三棱柱体放在电场强度E = 200iN-C-1的匀强电场中求通过此三棱柱体的电场强度通量电场强度通量分别为Oe1,Oe2,①e3,①e4和①5，故通过闭合曲面的电场强度通量为①=Q +① +① +① +①e e1 e 2 e 3 e 4 e 5由式(7-9)可求得通过 S 的电场强度通量为1①=f E - dSe1 S1从图中可见S的正法线矢量° n的方向与E的方向之间的夹角为兀，故1①el = ES1C0 一ES1，而U S3和S4的正法线矢量n均与E垂直，故①=O =O =f E - dS = 0e2 e3 e4 S对于面S5其正法线矢量°n与E的夹角° <9<兀/2，故①=f E - dS = E cos9 Se5 S 5 5而 S§ cos9 = Si，所以O = ES51把它们代入有①=Q +① +①+①+① =-ES + ES = °e e1 e 2 e3 e4 e5 1 1上述结果表明，在匀强电场中穿入三棱柱体的电场线与穿出三棱柱体的电场线相等，即穿过闭合 曲面（三棱柱体表面）的电场强度通量为零。

三、高斯定理设真空中有一个正点电荷q，被置于半径为R的球面中心O,由点电荷电场强度公式（7-4） 可知，球面上各点电场强度E的大小均等于E =」q4ns R 2°于是通过整个球面的电场强度通量为①=1 d° =1 E - dS 二」 q J dSe s e s 4ne R 2 s°1 q .4 nR 24n£ R 2°如果闭合曲面内含有任意电荷系，①=J E - dS =—工 qe s £ i° i=1 （ 7-11）高斯通过缜密运算论证了这个关系，这就是著名的高斯定理即在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除这就是真空中的高斯定理，式（7-11）就是它的数学表达式在高斯定理中，我们常把所选取的闭合曲面称作高斯面高斯定理不但适用于静电场，而且 对变化电场也是适用的，它是电磁场理论的基本方程之一参见第 12-5节）人物简介：高斯传C. F.高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)，德国数学家、天文学家和物理学家，高斯在数学上建树颇丰，有“数学王子”美称，他与另一位德国物理学家 W.E•韦伯(Wilhelm EduardWeber,1804-1891)制成第一台有线电报机和建立了地磁观测台，高斯还创立了电磁量的绝对单位扩充内容：高斯定理的证明上面讨论的是一种很特殊的情况，包围点电荷的闭合曲面是以点电荷为球心的球面。

如果包①=f E - dS = -q围点电荷的闭合曲面形状是任意的，式e -0仍能成立吗？如图所示，点电荷+ q被任意形状的闭合曲面所包围我们将此闭合曲面分成许多面积元设点电荷+ q至某一面积元dS的矢量为尸，此面积元的正法线矢量en与面积元所在处电场强度E之间的夹角为0可知，穿过面积元dS的电场强度通量为d0 = E - dS = EdS cos 0e而由点电荷的电场强度公式（7-4）14ns0qr2可得d©eq dS cos4ns r 20式中dScos9 = dS'，即为面积元dS在垂直于矢量r方向上的投影于是上式为忙 q dS'd© =—e 4 ns r 20dS' dS'd« =从数学上可知，r2为面积元dS对点电荷q所在点张开的立体角d°，即 r2有d© =—^ dQe 4ns0由上式可以看出，在点电荷的电场中，通过任意面积元dS的电场强度通量，只与点电荷q以及 面积元dS对q所在点张开的立体角的大小有关对上式进行积分，可求得通过包围q的任意闭 合曲面的电场强度通量为①=f d© 丿 E -d5 =-^JdQe S e S 4ns S0式中立体角对闭合曲面的积分J ^Q=471于是上式为J E - dS = 2Ss0如果在闭合面内含有任意点电荷系时，同样可以在闭合面上取面元dS,在dS处的电场强E应为E,则E =S E 各点电荷在该处的电场强度的叠加，设第i个点电荷在dS处的电场强度为i i i闭合曲面上的电场强度通量由上面的证明，可知所以-f （工 E ） - dSi-Ef E - dSiif E - dS = qii £0①-f E - dS —丄工qe £ i0i不难推断，若在电场中所取的闭合曲面内不含有电荷，或者所含电荷的代数和为零，则高斯定理的数学表达式为①—f E - dS = 0eS从电场线的角度来看，上式是不难理解的。

我们知道，电场线是始于正电荷，而终于负电荷这时进入高斯面的电场线数与穿出高的当电扬中的高斯面内不含有电荷时，即如图所示情况，斯面的电场线数相等，故穿过整个高斯面的电场线数为零在如图所示的高斯面A内含有两等量异号电荷，则穿过高斯面A的电场强度通量为零，此时 穿出高斯面A电场线数与进入高斯面A的电场线数相等；而穿过高斯面B的电场强度通量为 q/£0，穿过高斯面C的电场强度通量为（一q/£o）高斯定理表明，穿过包围任意电荷系的闭合曲面的电场强度通量，只与该电荷系所有电荷的代数和有关，而与闭合曲面的形状无关，也与该电荷系的电荷分布情况无关四、高斯定理应用举例高斯定理的一个重要应用就是计算带电体周围电场的电场强度，当电场是均匀的电场，或者 电场的分布是对称的时，就为我们选取合适的闭合曲面提供了条件，所以分析电场的对称性，选 择适当的高斯面可以使面积分变得简单易算 下面举几个例子，说明如何应用高斯定理来计算 对称分布的电场的电场强度例 2 均匀带电球壳的电场强度设有一半径为R，均匀带电为Q的薄球壳求球壳内部和外部任意点的电场强度E解 因为球壳很薄，其厚度可忽略不计，电荷Q可近似认为均匀分布在半径为R的球面上。

由于电荷分布是球对称的，所以E的分布也是球对称的因此，在电场中任意点P的电场强度 E的方向都沿径矢；而E的大小则仅依赖于从球心到场点P的距离r这就是说，在同一球面上 各点E的大小相等，且E与球面上各处的dS相垂直如果点P在如上图（左）所示的球壳内部，那么以球心到点P的距离r（rR ） 为半径作一球面，显然点 P 在 此球面上 以此球面为高斯面，它所包围的电荷为 Q 由高斯定理可得f E - dS = E 4兀 r 2 =S于是点P的电场强度为E =4兀£ r 20(r>R) (2)式是° r为沿径矢的单位矢量其矢量表示式为E =」Q er>R)4兀£ r2 r0上式表明，均匀带电球壳在其外部建立的电场强度，与等量电荷 全部集中在球心时建立的电场强度相同由上图（右）的E-r曲线，可以看出，球壳内（r〈R）的E为零，球壳外（r>R）的E与r2成反 比，球壳处（r=R）的电场强度有跃变。

例 3 无限长均匀带电直线的电场强度设有一无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为九求距直线为r处的 电场强度解 由于带电直线无限长，且电荷分布是均匀的，所以其电 场 E 沿垂直于该直线的径矢方向，而且在距直线等距离处各点的 E 的大小相等 这就是说，无限长均匀带电直线的电场是轴对称 的如图所示，直线沿z轴放置；点P在xy平面上，距z轴为 r 我们取以 z 轴为轴线的正圆柱面为高斯面，它的高度为 h ， 底面半径为r由于E与上、下底面的法线垂直，所以通过圆 柱两个底面的电场强度通量为零，而通过圆柱侧面的电场强通量 为E2nrh又，此高斯面所包围的电荷为川，所以，根据高斯定理有E 2nrh =处£由此可得九E =—2 n r0。