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固体物体第三章习题 第三章 晶体结合 3．1 惰性气体晶体 惰性气体晶体是最简洁的分子晶体，原子间的相互作 用能可以用勒纳—琼斯势描写 u?r???AB?12 6rr式中r是原子间的距离，A、B是两个常数．第一项代表吸引作用，其次项代表排斥作用．假设用两个无量纲的参量?,?表示，那么勒纳—琼斯势可以写为6????12???? u?r??4?????????r?????r??式中???BA?，??A24B，它们可以由气态参数给出 (a)画出勒纳—琼斯势能曲线，并说明参数?,?的物理意义． (b)对fcc构造的惰性气体晶体，证明平衡时原子间的最近距离r0?1.09?，每个原子的内聚能为u??8.6?． (c)证明平衡时面心立方构造的惰性气体晶体的体弹性模量是B0?[解](a)勒纳—琼斯势为????12???6?u?r??4?????????r?????r??75?16?3令r??x,u?r??f 4?那么又可以写为 f?x??11? 126xxdf?0即 dx作出函数曲线如图3．1所示．曲线的微小值对应于?12x?13?6x?7?0x?2?1.1216零，(大丫＝d 6： 幂，(太)6zi e2‘：12d，：(等)—“。

斗)卜也就是说，相应刁：r／*＝1．12；也就是说，相应于r??1.12，有勒纳—琼斯势的微小值．与此对应的势能为?1 u?r??4???2??6?12??6?16??2??? ???? 在远距离，即r??1.12．势是吸引势，按r?6改变，在近距离，即r??1.12，势是排斥势，按r?12规律改变．也就是说，排斥势随距离的改变是非常陡峭的，这反映了排斥作用具有短程力的性质，参数?正反映了排斥力的作用范围，而?那么反映了吸引作的强弱，通常惰性气体晶体??0.01eV，所以惰性气体晶体只有很弱的结合． (b)把惰性气体的原子看作经典粒子，并忽视原子的热运动动能，于是惰性气体晶体的点阵能就是晶体内全部原子的勒纳—琼斯势之和．假如晶体中含有N个原于，那么总的相互作用能就是 126??????1??? U?N?4??????????????2?j?pijr?j?pijr????1因子是因为在求和时每对原子的相互作用能都计算了两次点阵和2?1??A12 ?????j?pij?12?1??A6 ?????j?pij?6确定于晶体构造．对于面心立方构造A6?14.45,A12?12.13．引用A6和A12，每个惰性气体原子的总能量就是6????12????u?r??UN?2??A12???A6??? (1)?r?????r??由du?0可以求出零压力平衡态下的最近邻距离r0．对上式取微商得 drr?r0???12???6????2??12A12?13??6A??0 67??rr?0??0???dudrr?r0解得?2A?r0??12?? (2)?A6?16将面心立方构造的点阵和A6,A12代入，得r0?1.09? (3)这个结果对全部面心立方构造的惰性气体晶体都成立． 将式(2)代人式(1)中，得到惰性气体晶体每个原子的内聚能为 62????12?????A6?u0?2??A12???A6????????rr2A??12??0????0??对于面心立方构造，有u0??8.6? (4)dU??P?P??(c) 体弹性模量B??V?，将代入，得 ?dV?V??Td2UB?V 2dV用每个原子的体积v和能量u表示，v?B?v???u??? ?v??v?VU,u?，体弹模量B又可写为 NN对于面心立方构造，v?关系为13a，a为惯用晶胞边长，a和最近临距离r之间的4a?2r 故有r3?2?v??22?v3r?r代入B的表达式中，得2??1?u?2??2??u1?2u?B?r?r??3??22? ??9?r?r2?r?9???r??rr?r?平衡时的r0是使u为最小值的距离，即满意?u?0 ?rr?r0于是平衡时的体弹性模量B0为B0?Br?r2?2u?9r0?r20r?r06????12????对u?2??A12???A6???求二阶微商，那么?r????r???126?????1?????1??d2u?2??A1212?13???2??A66?7????2?? dr2r??r0??r0??r0??r0??0???2A?再将r0???12?代入，于是B0为?A6?2?A6??1??A6??1??2?B0?2??A1212?13???2??A66?7????2??9r0??2A12??r0??2A12??r0????16?A?B0?3A12?6???A12?4?52?75??33．2面心立方构造的点阵和(A12和A6) 考虑勒纳—琼斯势，惰性气体晶体的总能量可以写为6????12????U?2N??A12???A6????r?????r??式中N是组成晶体的原子数．对于以下近似程度计算面心立方构造的点阵A12和A6． (a)只计及最近临， (b)计算到最近邻和次近邻，(c)计算到最近邻、次近邻和第三近邻。

问以上结果是否相同？解?1??1?点阵和A6????,A12????，pij是以最近邻距离r度量的参考原子????i?pij?i?pij?612pij?i与任何一个j原子之间的距离，rijr，点阵和A6和A12确定于晶体构造类型．对于面心立方站构，有12个最近邻，最近邻距离pij?1，有6个次近邻，次近邻距离pij?2，有24个第三近邻，第三近邻距离pij?3，于是(a) 只计及最近邻(1)(1)A6?12??1??12,A12?12??1??6?12?12(b) 计及最近邻和次近邻(2) A6?12???1?6A(2)12?12??1??12??2?6??2??6?2?6?6?12. 750?12.094?12(c) 计及最近邻，次近邻和第三近邻(3)A6?12??1??6??6A(3)12?12??1??12???6??2??24??12???13.639 ?24??3??12.1273?6?12可以看到A12收敛得很快，而A6收敛得较慢，当以上求和取到三项后，A12已经得到相当相同的结果．通常所采纳的fcc点阵和数值是A6?14.45,A12?12.13 3．3体心立方氪 假如惰性气体晶体氪结晶为体心立方构造，巳知氪的勒 0，??3.65?试计算 纳—琼斯参数??0.014eV (a)平衡时的最近邻距离r0及点阵常数a； (b)每个原子的内聚能u0，(以eV计算)； (c)平衡时的体弹性模量B0(以dyn?cm-2计算)． 确定体心立方构造的点阵和为 A6???pij??12.25?6jA12???pij?j?12?9.11解由例题1可知，出N个氪原于组成的惰性气体晶体总的势能为本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第6页 共6页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页第 6 页 共 6 页。