非线性坐标转换模型及其解算方法.pdf

测绘技术装备 季刊 第 14 卷 2012 年第 2 期 学术研究 7 非线性坐标转换模型及其解算方法 董洪霞 王景雨 曹学东 （西安测绘总站 陕西西安 710054） 摘 要： 具体描述了两个具有代表性的非线性坐标转换模型， 即三维坐标转换的严密模型和二维坐标转换的仿射变换几何模型， 给出了它们基于非线性平差的修正高斯—牛顿解算方法， 并结合算例与相应的线性模型进行了比较对于其它非线性坐标转换模型的解算，亦具有重要的指导意义和实用价值 关键词：非线性 坐标转换 严密模型 几何模型 1 引言 众所周知，不同坐标系之间的坐标转换工作对 于大地测量、摄影测量、工程测量、GIS 以及 3D 等 都具有重要的意义比如：大地测量中，经常需要 在国家坐标系之间或国家坐标系与地方坐标系之间 进行坐标转换以往，人们经常采用线性化的布尔 莎模型完成三维坐标的转换工作由于该模型是以 旋转角为微小量作为前提的，当遇到较大的旋转角 时通常要对数据进行某些预处理，使之满足模型的 要求在采用仿射变换模型或相似变换模型进行二 维坐标的转换时，则为了线性解算的需要舍弃几何 模型而取其代数模型本文将采用非线性平差的方 法，讨论三维坐标转换的严密模型和二维坐标转换 的仿射变换几何模型的解算问题。

2 非线性坐标转换模型 2.1 三维模型 设 有 两 个 空 间 直 角 坐 标 系 Ｏ -XSYSZS和 Ｏ -XTYTZT 两坐标系的原点平移矢量（平移参数）为 (dX,dY,dZ)T，任一点在源坐标系中的坐标加上原点平移矢量即得到该点在目的坐标系中的坐标，平移 参数也就是源坐标系的原点在目的坐标系中的坐标 值 两坐标系三个坐标轴的旋转角 （旋转参数） 为(εX,εY,εZ)T,其符号约定如下：从坐标系原点沿坐标轴的正向看，绕坐标轴顺时针旋转时的角度为正 从源坐标系转换到目的坐标系，如果绕 Z 轴的旋转 角度为正，那么转换后点的经度将变小两坐标系 坐标的比例因子（尺度比参数）为 K，尺度比参数即 从源坐标系转换到目的坐标系的尺度伸缩量 假设两个坐标系之间旋转变换的顺序为： 先绕 X 轴旋转，然后绕 Y 轴旋转，最后绕 Z 轴旋转，则任 一点 P 在两个坐标系中的坐标 (XS,YS,ZS)T和 (XT,YT,ZT)T之间有如下转换关系：   dZdYdXZYXcccbbbaaaKZYXSSSTTT321321321(1) 其中： ZYacoscos1 ZYXZXa cossinsinsincos2 ZYXZXa cossincossinsin3 ZYbsincos1 ZYXZXb sinsinsincoscos2 ZYXZXb sinsincoscossin3 Ycsin1 YXccossin2 YXccoscos3 (1)式即为非线性三维坐标转换的数学模型，亦 可称作三维坐标转换的严密模型。

2.2 二维模型 设有两个平面直角坐标系Ｏ-XSYS和Ｏ-XTYT ， 两 坐标系的原点平移矢量（平移参数）为(dX,dY)T，也就是源坐标系的原点在目的坐标系中的坐标值两 坐标系的对应坐标轴重合需要旋转的角度（旋转参 数）为(QX,QY)T，其符号约定为逆时针旋转为正两坐标系对应坐标轴方向的比例因子（尺度比参数） 为(KX,KY)T，即从源坐标系转换到目的坐标系的尺度伸缩量对于任一点 P 在两个坐标系中的坐标 (XS,YS)T和(X T,YT)T之间有如下转换关系［4］：       dYdXYXbbaaYXSSTT2121(2) 其中： 8 学术研究 测绘技术装备 季刊 第 14 卷 2012 年第 2 期 YYXXYYXXsQKQKbQKaQKacobsinsincos2121(2)式即为非线性二维坐标转换的数学模型，也 称之为仿射变换的几何模型如果不考虑式中2121bbaa、、、所表示的几何意义，便为仿射变换的代数模型，可以用常规线性平差的方法解算 3 解算方法与算例 3.1 非线性平差的修正高斯-牛顿法［1］ 对于非线性模型的平差，理论上应该采用非线 性的数据处理方法。

在具体实践中，由于受到精度 要求、计算方法与工具等的限制，通常采用泰勒级 数展开式的一次项将非线性模型转化为线性模型来 处理这种方法要求未知参数的估值与真值的偏离 较小，因此有时其精度和可靠性难以保障20 世纪 70 年代末以来国内外专家学者进行的非线性平差研 究，为我们今天的实践提供了理论基础本文的非 线性坐标转换模型的解算，采用目前较为理想的非 线性参数平差的迭代解法，即修正的高斯—牛顿法 设L为等精度的独立观测向量，X为未知参数向 量，f(X)为未知参数X的非线性函数向量，则与之 相应的误差方程表示为： LXfV)(非线性平差的目的就是求未知参数的最小二乘估值，即使目标函数)(X满足以下要求： min))(())(()(LXfLXfVVXTT(3) 根据修正的高斯—牛顿法，未知参数 X 的解算 过程如下［3］： a）计算未知参数 X 的修正值： )]([)()]()([001 000XfLXBXBXBdXTT(4) 其中：)(0XB为)(Xf相应于未知参数 X 的初值0X的雅可比(Jacobj)矩阵 b）按照三点抛物线近似法计算0： /)]()([25. 05 . 00000dXXX)]5 . 0(2)()([ 00000dXXdXXX(5) c）计算未知参数 X 的最新值： 0001dXXX(6) d）计算)(1X。

若 )()(01XX（为微小值） ，则以1X作为未知参数 X 的最小二乘估值，停止计算；否则，令10XX，跳转到步骤 a)继续计算 3.2 算例 首先，假定一组源坐标系坐标，并将其按 WGS －84 椭球参数投影到我国采用的高斯投影六度带 （见表 1） 然后，用假定的三组转换参数（见表 2） 将表 1 所列的源坐标系大地坐标转换到目的坐标系， 表1 源坐标系坐标 序号 B(° ) L(° ) H(m) x(m) y(m) 1 31 111 100 3430974.324 19500000.000 2 31 112 200 3431403.610 19595506.556 3 31 113 300 3432691.920 19691026.875 4 32 111 400 3541852.434 19500000.000 5 32 112 500 3542289.447 19594495.262 6 32 113 600 3543600.931 19689003.239 7 33 111 700 3652748.043 19500000.000 8 33 112 800 3653192.251 19593455.160 9 33 113 900 3654525.314 19686921.992 测绘技术装备 季刊 第 14 卷 2012 年第 2 期 学术研究 9 并将由第一组转换参数求得的目的坐标按克拉索夫斯基椭球参数投影到我国采用的高斯投影六度带。

表2 源坐标系到目的坐标系的转换参数 序号 dX(m) dY(m) dZ(m) ε x( “) ε y( “) ε z( “) K 1 100 200 300 1 2 3 0.999991 2 100 200 300 60 120 180 0.999992 3 100 200 300 3600 7200 10800 0.999993 通过以上计算，可以得到三组重合点的大地坐 标(B,L,H)和一组重合点的平面直角坐标(x,y)利 用三组大地坐标重合点，分别进行非线性三维坐标 转换模型（严密模型）和线性模型（布尔莎模型） 的解算（转换参数求解） ，结果列于表 3利用一组平面直角坐标重合点，分别进行非线性二维坐标转 换模型（仿射变换几何模型）和线性模型（仿射变 换代数模型）的解算（转换参数求解） ，结果列于表 4 表 3 三维坐标转换参数解算结果 非线性模型（严密模型） 线性模型（布尔莎模型） 参数 1 3 3 1 2 3 dX(m) dY(m) dZ(Z) ε x(“) ε y(“) ε z(“) K 100.003 199.989 299.994 1.00032 1.99930 2.99959 0.99999100 100.003 199.990 299.992 59.99991 120.00011 180.00011 0.99999200100.001 199.995 299.997 3599.99989 7200.00024 10800.00020 0.99999300100.004 199.989 299.994 1.00033 1.99928 2.99955 0.99999100102.482 200.703 303.013 60.08553 120.00639 179.97864 0.99999154 9236.251 2536.093 11115.599 3907.51418 7220.25209 10716.95319 0.99832094Ms(m) ±0.001 ±0.001 ±0.001 ±0.001 ±0.016 ±58.716 表 4 二维坐标转换参数求解结果 非线性模型（仿射变换几何模型） 线性模型（仿射变换代数模型） dX(m) dY(m) Qx(“) Qy(“) Kx Ky 547.799 278.664 2.80223 2.79106 0.99997180458 0.99997200242 dX(m) dY(m) a1 a2 b1 b2 547.799 278.659 -0.0000281958 -0.0000135310 0.0000135836 -0.0000279971 Ms(m) ±0.037 Ms(m) ±0.037 由表 3 不难看出：非线性三维坐标转换严密模 型的解算结果较好地实现了不同量级旋转角的模拟 数据的还原；线性的布尔莎模型的解算结果则随着 旋转角的增大而出现变形甚至完全失真。

对于表 4 则不难发现：非线性的仿射变换几何 模型和线性的仿射变换代数模型的解算结果是等价 的但是，由于仿射变换几何模型能够充分地展示 两坐标系之间的几何关系，其更具有实用价值和分 析价值 4 结束语 a）非线性的三维坐标转换严密模型相对于线性的布尔莎模型，理论严密，具有更广泛的使用价值 当平移和旋转的顺序不同时，严密模型会有不同的 表现形式，但在实用上是等价的 b）非线性的二维坐标转换之仿射变换几何模 型，能够明确描述两平面直角坐标系之间的几何关 系，理论上亦更具一般性通过该模型可以导出正 交仿射变换和相似变换两个特例 c）非线性平差的修正高斯—牛顿法，对于未知 参数的初值依赖性不强，收敛速度快，是解决非线 性坐标转换问题较为理想的解算方法10 学术研究 测绘技术装备 季刊 第 14 卷 2012 年第 2 期 参考文献 [1] 刘国林，非线性最小二乘与测量平差[M].北京：测绘出版社. [2] 施一民，现代大地控制测量[M].北京：测绘出版社. [3] 包欢，付子傲，陈刚，等.基于非线性平差模型的坐标转换公式，测绘学院学报[J。