高等代数电子教案4.6重因式.doc

4.6 重因式授课题目：4.6重因式教学目标：理解多项式的重因式及导式的概念，掌握多项式有无重因式的判别方法授课时数：2学时教学重点：多项式有无重因式判别及分离重因式的方法教学难点：因式重数判别定理及无重因式的充分必要条件定理的证明（定理4.6.1及定理4.6.2的证明）教学过程：在典型分解式中，有的，这时称位重因式，重因式的判定在因式分解理论的研究中，占有重要的地位一、重因式1、定义定义1设是不可约多项式，如果 而不能整除，则称2、问题如何判断多项式有无重因式？有的说根据典型分解式，再用带余除法即可但典型分解式不易求得，该怎么办？二、重因式的判定1、多项式的导数定义2 设F上的多项式称为f(x)的导数由定义知：1）次多项式的导数是n-1次多项式；2）项式与零次多项式的导数为零多项式；3）多项式的n阶导数为零次多项式，n+1阶导数为零多项式例1、求多项式的各阶导数2、预备定理定理4.6.1 证 由已知，存在 所以 但 注意，定理4.6.1的逆不成立，如，的4重因式，但不是的因式3、主要定理定理4.6.2 多项式没有重因式的充要条件是证 因而（2）式中因此，（3）式中于是若则因而这样没有重因式。

（证毕）4、判定有无重因式的方法，具体步骤如下：（1）由求（2）求出；（3）若, 则无重因式若则的每个不可约因式都是的重因式具体的说，是的k重因式，则是的k+1重因式例2．判断有无重因式解 进一步求得所以有重因式，并且三，分离重因式的方法1、理论依据推论1 设则多项式与有完全相同的不可约因式，而无重因式在介绍Th.4.7.3前举下面例子： 问：1）、有何相同之处？2）有什么不同？3）在讨论因式分解时，对哪个多项式讨论较为容易？2、分离重因式的具体步骤3、分离重因式的意义利用Th.4.6.3,可将一个有重因式的多项式因式分解问题，归结为一个次数比它低的较简单多项式的因式分解问题例3 设在实数域上分离的重因式，并求的典型分解式.解 进一步求得于是故注：无须设，由即可求出的典型分解式.作业：P150，2—6题。