静电场计算题习题库.pdf

静电场计算题1.如图所示， 真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为 q， 试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的 P 点的电场强度．解：设杆的左端为坐标原点O，x 轴沿直杆方向． 带 电直杆的电荷线密度为=q / L，在 x 处取一电荷元dq = dx = qdx / L，它在 P 点的场强：204dd xdLqE204dxdLLxq2 分总场强为LxdLxLqE020)(d4－dLdq043 分方向沿 x 轴，即杆的延长线方向．2.一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形， 沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆心O 处的电场强度．解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在 处取微小电荷 dq = dl = 2Qd / 它在 O 处产生场强d 24dd20220RQRqE2 分按 角变化，将dE 分解成二个分量：dsin 2sindd202RQEExdcos 2cosdd202RQ EEy3 分 对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷2/2/0202ds i nds i n 2RQEx＝0 2 分2022/2/0202dc o sdc o s 2RQRQEy2 分所以j RQjEiEEyx2 021 分LdqP+Q－QROx y dqROx y dＰL d dqx (L+d－x) dEx O 3.如图所示，一电荷面密度为的“无限大”平面，在距离平面a 处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R 的圆面积 范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．解：电荷面密度为的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 E= / (20) 2 分 以图中 O 点为圆心，取半径为r→r＋dr 的环形面积，其电量为 dq = 2 rdr2 分 它在距离平面为 a 的一点处产生的场强2/32202d raa r d rE2 分则半径为 R的圆面积内的电荷在该点的场强为RrarraE 02/322 0d222 01 2Raa2 分由题意 ,令 E=/ (40)，得到 R＝a32 分4.电荷线密度为的“无限长” 均匀带电细线，弯成图示形状．若半圆弧AB 的半径为R，试求圆心O 点的场强．解：以 O 点作坐标原点，建立坐标如图所示．半无限长直线A∞在 O 点产生的场强1E，ji RE01 42 分半无限长直线B∞在 O 点产生的场强2E，ji RE02 42 分半圆弧线段在O 点产生的场强3E，i RE0322 分由场强叠加原理，O 点合场强为0321EEEE2 分5. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布， 电荷线密度为，四分之一圆弧AB 的半径为R，试求圆心O 点的场强．a RO EdrrOAB∞O∞x 3E2E1Ey A B R ∞∞O O B A ∞∞解：在 O 点建立坐标系如图所示． 半无限长直线A∞在 O 点产生的场强：ji RE0142 分半无限长直线B∞在 O 点产生的场强：ji RE02 42 分四分之一圆弧段在O 点产生的场强：ji RE0344 分由场强叠加原理，O 点合场强为：ji REEEE032142 分6.图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分 布为：Ex＝ bx，Ey＝ 0，Ez＝0．高斯面边长a＝ 0.1 m，常量 b ＝ 1000 N/(C · m)．试求该闭 合 面 中 包 含的 净 电荷 ． (真 空 介电 常 数0＝ 8.85× 10-12C2·N-1·m-2 ) 解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x 分量不为 零，故只是二个垂直于x 轴的平面上电场强度通量不为 零．由高斯定理得：- E1S1+ E2S2=Q / 0( S1 = S2 =S ) 3 分 则Q =0S(E2- E1) =0Sb(x2- x1) = 0ba2(2a－a) =0ba3 = 8.85 ×10-12 C 2 分7.真空中一立方体形的高斯面,边长a＝ 0.1 m，位于图中所示位 置．已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0． 常量 b＝ 1000 N/(C·m)．试求通过该高斯面的电通量．解：通过 x＝a 处平面 1 的电场强度通量1 = - E1 S1= - b a31 分 通过 x = 2a 处平面 2 的电场强度通量2 = E2 S2 = b a31 分 其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为=1+2 = b a3- b a3 = b a3 =1 N ·m2/C 3 分OBA∞∞yx3E2E1EO x z y a a a a Oy x a 2a E1E21 2 a a a a x z y O 8. 图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度 为 ．试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图 线，即 E— x 图线 (设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板 )．解：由电荷分布的对称性可知在中心平面两侧离中心平面相同距离处场强均沿x 轴，大小相等而方向相反．在板内作底面为S 的高斯柱面S1（右图中厚度放大了） , 两底面距离中心平面均为x , 由高斯定理得01/22SxSE则得01/xE即01/xEdxd 21214 分在板外作底面为S 的高斯柱面S2两底面距中心平面均为x，由高斯定理得02/2SdSE则得022/dEdx 21即022/dEdx 21，022/dEdx 214 分E~ x 图线如图所示．2 分9.一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为=Ar(r≤ R) ，=0 (r＞ R) A 为一常量．试求球体内外的场强分布． 解：在球内取半径为r、厚为 dr 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为rrArVqd4dd2在半径为r 的球面内包含的总电荷为403d4ArrArdVqrV(r≤R) 以该球面为高斯面，按高斯定理有0421/4ArrE得到0214/ArE，(r≤R) 方向沿径向， A>0 时向外 , AR) 方向沿径向， A>0 时向外， A>2R)．求两球心间的电势差．解：均匀带电球面内的电势等于球面上的电势．球面外的电势 相当于电荷集中在球心上的点电荷的电势．由此，按电势叠加 原理EqOARR3R8BO1+QRO2- QdRⅠⅡⅢd b a 45°c E球心 O1处的电势为： dQRQ U001 442 分球心 O2处的电势为： RQdQU002442 分则 O1、O2间的电势差为： RdRdQdRQU001221121 分21.一电子射入强度的大小为5000 N·C-1的均匀电场中， 电场 的方向竖直向上．电子初速度为v0＝107m·s-1，与水平方向 成＝30°角，如图所示．求电子从射入位置上升的最大高度． (电子的质量m＝ 9.1× 10-31kg，电子电荷绝对值e＝ 1.6 × 10 -19 C) 解：电子在电场中作斜抛运动，忽略重力，在竖直方向上有：ay＝－ eE / m1 分 vy＝v0sin －eEt / m 1 分2021s i ne E ttyv1 分电子上升至最高点的条件是vy＝0，于是有：v0sin －eEt1 / m＝0 t1 = mv0sin / (eE) 1 分∴22201042.12/sineEmyvm 1 分22.在真空中一长为l＝ 10 cm 的细杆上均匀分布着电荷，其电 荷线密度＝ 1.0× 10-5C/m．在杆的延长线上，距杆的一端 距离 d＝ 10 cm 的一点上，有一点电荷q0＝2.0× 10-5C，如 图所示． 试求该点电荷所受的电场力．(真空介电常量0＝ 8.85 × 10-12 C2· N-1· m-2 ) 解：选杆的左端为坐标原点，x 轴沿杆的方向．在 x 处取一电荷元dx，它在点电荷所在处产生场强为：204dd xdxE3 分整个杆上电荷在该点的场强为：lddlxdxEl00204d42 分 点电荷 q0所受的电场力为：lddlqF004＝0.90 N 沿 x 轴负向3 分23.如图所示，有一高为h 的直角形光滑斜面, 斜面倾角为．在直角顶点A 处有一电荷为－q的点电荷． 另有一质量为 m、电荷＋ q的小球在斜面的顶点B 由静止下滑．设小球可看作质点，试求小球到达斜面底部C 点时的速率．OxyE0vd l q0q0O x dxd+ x l d x BAC+ q 、 mh － q解：因重力和电场力都是保守力，小球从顶点B 到达底部C 点过程中能量守恒．c t g421 402 202hqmm g hhqv3 分∴2/10221tg 2gh mhqv 2 分24.一半径为R 的均匀带电细圆环，其电荷线密度为， 水平放置． 今 有一质量为m、电荷为q的粒子沿圆环轴线自上而下向圆环的中心运动 (如图 )．已知该粒子在通过距环心高为h 的一点时的速率为v1， 试求该粒子到达环心时的速率．解：带电粒子处在h 高度时的静电势能为2/122 01 2RhqRW2 分 到达环心时的静电势能为022/qW2 分据能量守恒定律1212222121Wm g hmWmvv2 分以上三式联立求解得到2/122 0212112 RhRmqRghvv2 分25.如图所示，两个电荷分别为q1＝ 20× 10-9C 和 q2＝－ 12× 10-9 C 的点电荷， 相距 5 m．在它们的连线上距q2为 1 m 处的 A 点从静止释放一电子，则该电子沿连线运动到距q1为 1 m 处的 B 点时，其速度多大？(电子质量me＝ 9.11× 10-31 kg，基本电荷e＝ 1.6× 10-19 C，041＝ 9×109N· m2/C2) 解：设无限远处为电势零点，则A、B 两点的电势为：221102021014144rqrqrqrqUA代入 r1=4 m，r2=1 m 得UA＝－ 63 V2 分221102021014144rqrqrqrqUB代入1r ＝1 m，2r ＝4 m 得UB＝153 V 2 分电子在运动过程中，电势能减少，动能增加BAeUUem221 v2 分eBAmUUe2v＝ 8.71×106m/s 2 分OR h m、 q v1B A q1q21 m1 m5 m- e26.两个同心的导体球壳，半径分别为R1＝ 0.145 m 和 R2＝ 0.207 m，内球壳上带有负电荷q ＝- 6.0× 10-8 C．一电子以初速度为零自内球壳逸出．设两球壳之间的区域是真空，试计算 电子撞到外球壳上时的速率．(电子电荷ｅ＝ - 1.6× 10-19 C，电子质量me＝ 9.1× 10-31 kg，0＝ 8.85× 10-12 C2/ N· m2）解：由高斯定理求得两球壳间的场强为2120R 4Rr rqE2 分方向沿半径指向内球壳．电子在电场中受电场力的大小为420reqeEF2 分方向沿半径指向外球壳．电子自内球壳到外球壳电场力作功为21212 0d4dRRRRrreqrFA210122104114RRRReqRReq2 分由动能定理210122421RRRReqmev2 分得到emRRRReq210122v＝1.98×107 m/s 2 分27. 电荷 Q(Q＞ 0)均匀分布在长为L 的细棒上， 在细棒的 延长线上距细棒中心O 距离为 a的 P点处放一电荷为q(q ＞ 0 )的点电荷，求带电细棒对该点电荷的静电力． 解：沿棒方向取坐标Ox，原点 O 在棒中心处．求P 点场强：20204d4dd xaxxaqE2 分2/2/204dLLxaxE2202/2/0414LaQxaLL3 分方向沿 x 轴正向 . 点电荷受力：qEF2204πLaqQ方向沿 x 轴正方向．3 分PL+ QOaqP xO- L/2L/2dxdqa。