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生产安排问题摘要：本文主要针对某企业中各方面因素对利润和成本的影响进行了综合分 析. 在生产企业中, 产品的成本由多方面组成: 原材料成本、库存成本、外包费 用以及员工工资等等.而在该产品当月的需求不能得到满足时, 顾客愿意等待 该需求的后续的某个月内得到满足 , 但公司需要对产品价格进行打折, 因此还 要考虑缺货损失. 同时, 由于各月的产品需求不同 , 需要的工人的数也随之变 化, 还必须考虑工人的培训费用、加班费用以及解聘费用等. 该产品的销售价格 不变, 产品需求也大概是一个定值, 故一般在成本最低时其利润就最大 , 故此 题第一问就是求一个最小值问题.我们利用传统的方法 , 利用表格 , 结合分析 , 计算出最合理的生产方案 , 通过一系列的计算, 最后得到第一问的答案为最小成本是 844512 元, 而第二问, 从计算结果可看出, 降价促销会引起总收入减少 , 但促销带来的增长会使总需 求的变化变得平稳引起总成本的下降 . 一般在淡季进行促销时总成本下降的幅 度较大, 使需求平稳的同时生产的安排也更加平稳 . 从利润最大化考虑 , 不促 销方案还是是最优产销方案.关键词: 产销问题 成本最小值 条件极值1 问题重述某企业生产某种手工产品, 工人工作还需要企业给出工资 , 产品的产量与市 场的需求量不符的时候 , 还需要给出相应的剩余的产品的库存成本或者打折时 的缺货损失, 无论是讨论成本最低,利润最大的最优产销方案, 还是旺季促销、 淡季不促销、最优产销规划方案, 都有一个怎样合理规划求的最解的问题, 人员 雇佣的不合适, 培训费用和解聘费用不合理 , 影响利润, 产量于市场需求量不 符, 存在库存成本和缺货损失 , 影响利润, 因此说, 合理调配人员, 控制产量 是降低成本、经济效益的有效途径和方法.问题1:当产品的销售价格为 240 元/件时, 年初对上半年6个月的产品需求预测值如 下表1所示. 一月初可考虑的工人个数为 10, 每人每月工作21 天, 每天工作8 小时, 超时算加班工资, 且按规定没人每月最多加班 10小时. 产品各项成本费 用如下表2 所示. （其中外包成本为全部承包给别的企业生产所需要的成本, 不 需计入本企业的原材料成本）. 最后要求6 月末的库存为0 , 且不允许缺货.表1 产品需求预测估计值（件）月份1月2月3月4月5月6月预计估计值100011001150130014001300表 2 产品各项成本费用原材料成本库存成本缺货损失外包成本培训费用100元/件10元/件/月20元/件/月20 元/件50 元/人解聘费用产品加工时间工人正常工资工人加班工资100 元/人1.6小时/件12元/小时/人18元/小时/人请你建立数学并合理规划,制定出一个成本最低,利润最大的最有生产方案. 问题2:当产品价格为 220元/件时, 需求量自然会增加. 根据预测,若某个月进行 降价促销, 则接下来的两个月的需求量的6% 要加到本月的需求量中. 请你利用问题1中已经设计好的模型 , 制定出淡季（一月份）降价促销和旺季（四 月份）的最优产销方案 , 且与问题1中制定出的不降价促销的最优产销方案进行 对比, 最终选取出最优解, 制定出最好的产销规划方案.2 模型假设通过对题目的分析, 为了使问题得到简化, 我们做出了以下合理假设:1、 不考虑合同法的相关规定, 工厂可以随时解雇和招聘工人;2 、 不考虑工人生病等特殊情况对生产的影响 ;3 、 假设生产出来的产品能立即运到市场销售;4 、 不考虑培训时间，即培训不影响生产，工作次序正常进行;5 、 存储费用按月计算且只在月末收取.3 主要变量及符号说明E :某个月的预计需求量, 单位为件.xH : 产品加工时间 , 1.6 小时 / 件 .R : 原材料成本 , 100 元 / 件 .I : 库存成本 , 10 元/件/月.O: 外包成本, 200 元/件.S : 缺货损失 , 20 元 / 件 / 月 .D : 解聘费用, 100 元/人.T : 培训费用, 50 /人.R :某个月需要的工人人数，单位为人.(x = 123,4,5,6 ).XN : 工人正常工资， 12 元/小时/人.SN : 工人加班工资， 18 元/小时/人.OG : 产品的销售价格， 单位为元.M : 库存量， 单位为件.Q :某个月的产量，单位为件.(x = 123,4,5,6 ).xQ : 工人正常上班时间所生产的产品数量， 单位为件.aQ : 工人在加班时间所生产的产品数量， 单位为件.b(Q > 0,若 Q < 0,则取 Q = 0).b b bC : 六个月的总成本， 单位为元.C :某个月的成本，单位为元.(x = 123,4,5,6 ).xP ：六个月的总利润， 单位为元.P :某个月的利润，单位为元.(x = 1,2,3,4,5,6 )xS : 六个月的总收入， 单位为元.4 问题分析通过对产品生产销售优化问题的分析 ， 可把问题转化为生产成本最低问题， 而生产成本又与原料成本， 库存成本， 缺货成本， 包装成本， 培训成本， 解雇 费用， 工人正常工资和加班工资有关.总成本二原料及包装成本+库存成本+缺货成本+培训成本+解雇费用+工 人正常工资+加班工资，要使成本最小•利润最大，就必须求出成本最低方案, 我们直接用常规办法求解.问题的约束条件由人数变化和每月销售件数变化范围确定•问题的目标函数 就是总利润函数•总利润二总销售额-成本(包括人力成本、生产成本，库存缺 货成本以及其他成本等)•我们的目标是确定人数变化和每月销售件数的可行值, 使得我们的成本尽可能低， 销售量稳定， 从而达到总利润最大.题目中的第二问， 多了促销决策的影响， 促销可以使后两个月需求量的6% 提前到促销月发生， 相当于改变了各月的需求量， 比较分析各种促销方案的优 劣进行选取最优产销方案如果进行促销后 ， 总利润比第一问中的利润大， 则可 决定实施促销方案; 如果进行促销后， 总利润比第一问中的利润小， 则决定不 实施促销方案.图3 总成本框图这些成本均为线性函数， 其约束条件为聘: 用和解雇人员的限制， 生产能 力的限制， 库存的限制， 加班限制等. 于是建立规划模型， 可以利用软件进行 求解. 问题二的解题思想和问题一是一致的 ， 只是市场需求出现了变动， 只要 改变市场需求矩阵， 运用问题一的模型便可以解得问题二的解.5 模型的建立与求解5.1模型的建立与求解模型的求解我们通过传统列表求出最优解， 在实际计算当中有些的决策变 量只能取整数， 对得到的计算结果进行必要的取整 ， 可得到该公司的总生产计 划如下所示:由题目所给的数据可得: 上半年六个月的总销售额为:1000 + 1100 + 1150 + 1300 + 1400 + 1300 = 7250件;总 销 售 额 为 240? 7250 1740000 元 ; 总 利 润 最 大 为 1740000 - 100? 7250 1015000 元.显然， 在考虑产品的成本时， 必须将工人的工资考虑在内 . 所有产品加工 完成后按小时计工资为(7250- 200)创1.6 12= 135360元. 这是在正常上班时间 内计算出来的总工资， 不包括加班时间. 那么， 正常上班是否有这么多时间呢? 正常时间为10创8 21? 6 10080小时, 而生产7250 件产品, 如果要求在正常上 班时间内完成,不加班, 需要的时间是7050 ? 1.6 11280 .显然, 10080 < 11280 , 少的1200个小时需要加人.这样, 产品的成本就提 高了.现在, 我们来看看工人可以接受的总加班时间 , 为10创10 6= 600 小时, 这说明就算是所有的工人都愿意加班 , 也不能按时完成上半年的总产量 , 必须 另外招聘工人.那么, 什么时候开始招聘, 这同样也是一个问题, 招的早了, 就会产生库 存, 库存成本也是一笔不小的费用, 招的晚了, 当遇到旺季时还是得需要加班. 怎样在加班与库存之间找到一个平衡点 , 使库存与招工总费用最低 ? 撇开生产 能力的约束, 找到每月生产量与库存之间的平衡点 , 使总费用最少, 我们可以 分月进行计算:每个工人每月最少生产量为21锤8 1.6 = 105件 每个工人每月醉倒生产量为105 + 10 ? 1.6 111.25件 以下是每个月份使库存最少所需工人数:R = (1000- 200)锤1.6 (21? 8) 8 人以此类推R =10人，R =11人，R =12人，R =13人，R =12人.23456除此之外， 其中有几个月份产品会缺少， 此时， 可以采取加班、外包来生产. 对比这两种途径， 加班一件产品比正常上班时间生产一件产品的成本多 9.6 元， 而外包则比正常上班时间生产一件产品的成本多 80.8 元. 因此， 此时则采用加 班来弥补不够的产品.各期间生产计划安排如下表(4)月份人数需求量产量库存缺货正常加班181000840040021011001050100031111501155050412130012603500513140013653500612130012604000Q= Q + QabQ =(工人人数x每天工作时间x每月工作时间)/H aQ = E- Q （Q 0,若 Q < 0,则取 Q = 0）b a b b b每月月末产品现有量= Q + M非加班单位产品加工成本=R + H创N =100+1.6 12=119.2元S加班单位产品加工成本= R+ H? N 100+1.6 18=128.8元OC= Q x非加班单位产品加工成本+ Q x加班单位产品加工成本 ab+D+T+ M IP= E? G C由以上的公式, 可得, 每月的利润为一月:每月月末产品现存量= 840+ 200 = 1040件C = 840? 119.2 100? 2 200? 10 1 02328元1P=1000? 240 102328= 137672元1二月:每月月末产品现存量二1060 + 40二1100件C 二 1050X119.2+10X128.8 + 50x 2 + 40x 10 二 126948 元2P = 1100 X 240 -126948 = 137052 元2三月:每月月末产品现存量二1155 + 0二1155件C 二 1155 x 119.2 + 0x 128.8 + 50 二 137726 元3P = 1150 x 240 -137726 = 138274 元3四月:每月月末产品现存量二1295 + 5二1300件C 二 1260x119.2 + 35 x 128.8 + 50 + 5 x10 二 154800元4P = 1300 x 240 -154800 = 157200 元4五月 :每月月末产品现存量二1400 + 0二1400件C 二 1365 x119.2 + 35 x 128.8 + 50 二 167266元5P = 1400 。