排列组合问题的转化方法.docx

排列组合问题的转化方法班级 学号 姓名 有些排列组合问题，直截了当考虑不易解决，分类讨论又十分苦恼，假如运用转化思想，转换 角度，将其转化为等价的问题，不但能拓宽思路，还能避繁就简，变难为易.1. 转换角色 有些排列组合题，从表面上看是可重复元素的问题，若交换元素与位置的关系，就能够化为相 异元素的排列组合问题.例1有两个a,三个b,四个c共九个字母排成一排，有多少种排法？练习：（1）一排6 张椅子上坐3 人，每 2 人之间至少有一张空椅子，求共有多少种不同的坐法?2）有6个座位连成一排,现安排3人就坐,其中恰有两个空位相连的不同的坐法有多少种？2. 换位摸索 把过程与结果换位摸索,能够使问题更易操作.例2 某人射击8枪,共命中4枪,同时这4枪中有且仅有3枪连中,那么关于该人射击8枪 按“中”与“不中”报告结果,不同的结果共有多少种?练习：（1）马路上有编号为1, 2, 3,…，8, 9的九只路灯，为节约用电，能够把其中的三只路灯 关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯方法有 多少种?（2）从1, 2, 3,-, 2000这两千个自然数中，取出10个互不相邻的自然数，有多少种方法?3. 化归处理 通过构造模型能够将生疏问题,转化为常见题型的方法来处理。

例 3 6 人带 10 瓶汽水参加春游,每人至少带1 瓶汽水,有多少种不同的带法？练习：（1）求方程x + y + z = 10的正整数解的个数2）有9名实习老师预备分到高二年级的6个班中实习,每班至少1名,共有多少种不同的分法？4．构造模型例 4 共10级台阶，一人预备用8步走完，每步可走一级、二级或三级，共有多少种不同的走 法？练习：甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员竞赛，负者剔除，胜者再与负方2号队员竞赛，…，直到有一方队员全被剔除为止，另一方获胜，形成一种竞赛过程，那么所有可能显现的竞赛过程有多少种？☆5.转换说法 转换语言和变换说法，能够把比较隐晦的问题转化为直观问题，把抽象问题转化为具体的问题.例5已知集合A和集合B各含有12个元素，AHB含有4个元素，试求同时满足下列两个条件 的集合C的个数.（1） Cu AUB，且C中含有3个元素；（2） CnAM①（①表示空集）.等价说法1集合A有12个元素，集合B有8个元素，且AnB=①，求在集合AUB中取3个元素，其中至少 含有A的1个元素构成的集合C的个数.为了更形象地明白得题意，找出相应的实际问题作为模型，如此更有利于推进问题的解决。

明显，本题与下列实际问题等价.等价说法2 某建筑队只会瓦工或只会木工的各有8人，同时既会瓦工又会木工的有4人，现从中选择3人， 至少有一人会瓦工，有多少种不同选法?由于关于集合C中所含有的集合A的元素，无需考虑它是否属于AnB，故本题还有另一等价说 法.等价说法3 有男生12人，女生8人，从中选取3人作代表出席一次会议，代表中至少有1名男生，问有多 少种选法?解法 1 （分类法）C1 C 2 + C 2 C1 + C 3 二 1084.12 8 12 8 12解法2 （排除法）C3 - C3二1084.20 8即集合C有1084个。