《连续介质力学》例题和习题.doc

《《连续介质力学连续介质力学》》例题和习题例题和习题第一章第一章 矢量和张量分析矢量和张量分析第一节第一节 矢量与张量代数矢量与张量代数一、矢量代数一、矢量代数令令, , 则有则有1 1223 3AAAAeee1 1223 3BBBBeee1 1223 3AAAAeee111222333()()()ABABABABeee1 1223 31 1223 3112233() ()AAABBBABA BA BA Beeeeee1 1223 31 1223 311 1112 1213 1321 212222232331 31323233 33() ()AAABBBABABABA BA BA BA BA BA BA Beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee又因为又因为: ;;;;;;11ee0123eee132 eee213 eee22ee0231eee;;312eee321 eee33ee0则则: 233213113212213(_)()()A BA BA BABABA BA Beee习题习题:1、证明下列恒等式：、证明下列恒等式：1））2() () ()()A BB CC AAB C2) () ()()()A BC DAC D BBC DA2、请判断下列矢量是否线性无关？、请判断下列矢量是否线性无关？.1232Aeee23 Bee12 Cee其中其中为单位正交基矢量。

为单位正交基矢量ie3、试判断、试判断是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵 816 549 782  A 1A二、张量代数二、张量代数例例 1：令：令是一个张量，其使得矢量是一个张量，其使得矢量 ，， 经其变换后变为经其变换后变为，，，假，假Tab2TaabTbab定一个矢量定一个矢量，求，求2cabTc解：利用张量的线性性质，有：解：利用张量的线性性质，有：=(2)TcT ab22(2 )2(2 )33TaTbabababab例例 2：假定一个张量：假定一个张量将基矢变换成以下形式：将基矢变换成以下形式：T1123212331232643422 TeeeeTeeeeTeeee那么该张量那么该张量将将变换成什么样的结果？变换成什么样的结果？T12323aeee解：由解：由对基矢量的变换张量可知对基矢量的变换张量可知的矩阵表示为：的矩阵表示为：TT232 641 412ij    T则有：则有：23212 64125 41238             Tab即即123258beee例例 3：利用张量的变换定义证明：：利用张量的变换定义证明：1）若）若为一个二阶张量，则为一个二阶张量，则为一四阶张量；为一四阶张量；ijTijklT T2）若）若为一矢量，则对任意坐标系满足为一矢量，则对任意坐标系满足的的 为一矢量。

为一矢量iaiijjaT bib证明：证明：1）因为）因为为一二阶张量，由张量的变换定义有：为一二阶张量，由张量的变换定义有：ijTijminjijTQ Q T klrkslrsTQ Q T 则有则有 ijklminjijrkslrsminjrkslijrsT TQ Q T Q Q TQ Q Q Q T T  令令 ijklijklMT T ijklijrsMT T则有则有即即为一四阶张量为一四阶张量ijklminjrkslijklMQ Q Q Q M M2）由于）由于和和分别是矢量和张量，则有分别是矢量和张量，则有iaijTiimmaQ aijimjnmnTQ Q T由此可得：由此可得： （（*））immimjnmnjQ aQ Q T b又因为又因为对于任意坐标系都成立，则有对于任意坐标系都成立，则有iijjaT biijjaT b mmnnaT b由（由（*）式可得：）式可得：immnnimjnmnjQ T bQ Q T b等式两边同时乘以等式两边同时乘以可得：可得：ikQikimmnnikimjnmnjQ Q T bQ Q Q T b又因为又因为 ，则，则ikimkmQ Q或或 kmmnnkmjnmnjT bQ T bknnjnknjT bQ T b 所以所以 ()0knnknjTbT b由于上式对任一张量由于上式对任一张量都成立，则有都成立，则有T即即0nknjbT bnknjbT b这即是矢量的定义所满足的方程变换，因此这即是矢量的定义所满足的方程变换，因此 是一个矢量的分量。

是一个矢量的分量ib习题习题1、证明：如果、证明：如果和和为任意二阶张量为任意二阶张量和和的分量，且的分量，且对任意坐标系都对任意坐标系都ijTijETEijijklklTCE成立，则成立，则为一四阶张量为一四阶张量ijklC例例 4：已知张量：已知张量的矩阵形式为：的矩阵形式为：，求张量，求张量的特征值和特征向量的特征值和特征向量T200 034 043ijT   T解：由求特征值和特征向量的特征方程有：解：由求特征值和特征向量的特征方程有：2200 0342250 043     TI由此，可得三个不同的特征值：由此，可得三个不同的特征值： 122535 对对，由，由可得：可得： （（为待求的特征向量）为待求的特征向量）12()0ijijiT i100234023450利用利用可解得：可解得：222 123123011 则与则与对应的特征向量为：对应的特征向量为：1211 ne对于对于，同理有：，同理有：251302324023480同样利用同样利用可解得：可解得：222 12311023225 则与则与对应的特征向量为：对应的特征向量为： 25223125 nee同理，同理，对应的特征向量为：对应的特征向量为： 35 323125 nee习题：习题：1、令一张量、令一张量可用矩阵形式可用矩阵形式表示，则：表示，则：T540 410 003ijT   a)求求的主值和主方向；的主值和主方向；Tb)求求的主不变量；的主不变量；Tc)如果如果、、、、是是的主方向，则写出的主方向，则写出1n2n3nT  inTd)针对同样的基矢量，矩阵针对同样的基矢量，矩阵能否表示同样的张量能否表示同样的张量？？720 210 001ijS   T2、令、令和和 是任意两个张量，试证明：是任意两个张量，试证明：TSa)是一个张量；是一个张量；TTb)；；()TTTTSTSc））()TTTTSS T3、令一张量、令一张量的矩阵形式为：的矩阵形式为：，则：，则：T123 456 789ijT    a)求张量求张量的对称部分和反对称部分；的对称部分和反对称部分；Tb)求求的反对称部分的对偶矢量（或轴矢量）的反对称部分的对偶矢量（或轴矢量） 。

T第二节第二节 矢量和张量的分析矢量和张量的分析例例 1:利用指标定义证明下列等式：利用指标定义证明下列等式：1）），，) rrr(r  r2）），，p 是整数；是整数；2)pprpr(r3）），，F 为任一标量函数为任一标量函数)F (0证明：证明：（（1）对于任意矢量）对于任意矢量，有，有rxjjrx xrrr则则 11122)2iijjiiijj iirrx xxxx xxxrrrx(eee由此也可得：由此也可得： iixr xr（（2）对）对  122)ppppp iiii iirrrprprxprxx(eeer(3）因为）因为 2 ) =ijijkk ijijFFFxxx x  (eee且且关于关于 i 和和 j 对称，则对于该矢量的第对称，则对于该矢量的第 k 个分量有个分量有2ijF x y  （（i，，j 互换）互换）22ijkkjikk ijijFF x xx x   ee（重新将（重新将 i 变为变为 j，，j 变为变为 i））2=-ijkk jiF xx  e(利用其对称性利用其对称性)2=-ijkk ijF x x  e则则 )F (0例例 2：证明：证明detdetTAA AA 证明：令证明：令为任一二阶张量，则有：为任一二阶张量，则有：B11detdet =detdetABA A BIAA BI其中其中 ；因为；因为1 3det()det( )AA结合二阶张量结合二阶张量的主不变量的定义可得：的主不变量的定义可得：1A B132111 122311 1132det111=+ IIIII A BIA BA BA BA BA B这表明：这表明：     121 1231 3detdetdetdet+detIIIABAAA BAA BAA B由张量的标量函数导数的定义有：由张量的标量函数导数的定义有：（对任一二阶张量（对任一二阶张量））0det:detd dABABAB则则  1 1det:detIABAA BA又因为：又因为： 11 1:TItrA BA BAB则有则有  det:(det):TABA ABA由由的任意性可得：的任意性可得：B det(det)TAA AA习题习题1、令、令和和为矢量场，为矢量场， 为标量场，证明下列不等式：为标量场，证明下列不等式：VWa））()0 Vgb））()()()VWWVVWggc）） （（））()   VVVg()  VVggd））()0 g2、对于、对于，其中，其中为一常值二阶张量，证明：为一常值二阶张量，证明： :trAA A BB :AA B Itr A BA3、考虑一张量值函数、考虑一张量值函数，证明：，证明： 2AA%（其中（其中为一任意二阶张量）为一任意二阶张量） ABBAABA% B第二章第二章 运动学运动学第一节第一节 物体的运动物体的运动例例 1：考虑如下运动：：考虑如下运动：，其中，其中是质点是质点 P 在在 t 时刻的位置矢时刻的位置矢2 1ktXxXe11223 3xxxxeee量，而量，而是质点是质点 P 在在 t=0 时刻的位置矢量。

请画出初始时刻（时刻的位置矢量请画出初始时刻（t=0））11223 3XXXXeee具有如下图所示边长为单位具有。