函数列与函数项级数习习题.doc

第十三章 函数列与函数项级数一、基本概念与基本理论1．函数列的收敛2. 函数列一致收敛的定义及判别方法3. 函数项级数的收敛4 函数项级数一致收敛的定义及判别法5.一致收敛函数列与函数项级数的性质二、练习题1.判断题(1) 若函数列在上内闭一致收敛，则函数列在上一致收敛（　 ）(2) 函数项级数一致收敛必绝对收敛（ ）(3) 函数项级数绝对收敛必一致收敛（ ）(4)若函数列，，且数列收敛，则在上一致收敛于（ ）．(5)函数项级数在上一致收敛的充要条件是（ ）．(6)若，且存在数列，使不趋近0，则函数列在上非一致收敛（ ）．(7)若函数项级数一致收敛，则必存在优级数（ ） (8)阿贝尔判别法是判断函数项级数一致收敛的充分非必要条件（ ） (9)若在上一致收敛，且可导（n=1,2…），那么在 上可导，且（ ）(10) 定义在上，为的收敛点，的每一项在上有连续的导数，且在上一致收敛，则 （ ）(11)为定义在上的函数列，为的收敛点，在 上连续，且在上一致收敛，则也一致收敛（ ）(12) 每项都连续的函数列在区间I上内闭一致收敛于，则在I上连续（ ）(13)一致收敛是极限运算与积分运算能够交换顺序的充要条件（ ）2.设函数列，， (1)求该函数列的极限函数和收敛域(2)证明在上一致收敛，在上不一致收敛，在呢3.判断函数列，是否一致收敛4. 设函数是上的连续函数，，，证明函数列在上一致收敛的充要条件是.5. 函数是上的连续函数，，函数列满足：(1) 在 内闭一致收敛；(2) 在上一致有界。

证明函数列在上一致收敛.6.证明函数列在任何区间上一致收敛，在不一致收敛，但它的导函数列在一致收敛.7.设在上Riemann可积，，证明函数列 在上一致收敛于08.判断函数列在上是否一致收敛.9.设，数列单调递减收敛于0；，是上单调函数求证：在一致收敛10.判断下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性(1) (2) (3) (4)(5) (6) ，(7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) 和 11.求证：在上绝对收敛且一致收敛，但并不绝对一致收敛.12. 证明：在任何有限区间上一致收敛，而在任何一点都不绝对收敛.13. 证明函数项级数在区间上一致收敛但不绝对收敛14.证明在收敛，但非一致收敛，而和函数在内无穷次可微.15.设，求证：在上存在任意阶导数.16. 证明函数在上连续，且有连续的导函数.17.设，证明函数项级数在区间上一致收敛，并讨论其和函数在上的连续性、可积性与可微性.18.设函数，证明在上连续，并计算积分.19.设在连续，()，证明在上一致收敛20．求证21．证明：在收敛，但不一致收敛，和函数在连续。